力学量的算符表示

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1、第三章力学量的算符表示1.如果算符、满足条件,求证:,,[证]利用条件,以左乘之得则有最后得。再以左乘上式得,即则有最后得应用数学归纳法可以证明:先设成立,以左乘上式得则有最后得2.证明[证]应用及,则同理可证则3.若算符满足,求证:其中,[证]方法一:把直接展开,比较系数法。而…………因此,把展开式的的同次幂的系数合并之后,我们容易得到:方法二:定义算符其中S是辅助参数。则算符对S的微商给出…………取,得将展开为麦克劳林级数按定义,,所以我们最后得到4.如果都是厄密算符,但,向:(1)是否厄密

2、算符?(2)是否厄密算符?[解]利用厄密算符具有的性质及(1)令则当时,,故不是厄密算符。(2)因,故因此是厄密算符。例如,和都是厄密算符,且,所以不是厄密算符,事实上显然不可能是厄密的。但是在中,把它改写为,显然左方是厄密算符。5.如果都是厄密算符,而算符,求证:。[证]。6.试证明力学量所对应的算符是,并进一步用数学归纳法证明力学量所对应的算符是。[证]先证明一维情况,按定义而,,利用恒等式故由于:故同理故对于,可先设成立,然后写出的表示式,进行一次分部积分后,不难得出7.求:并由此推出、、

3、分别与的对易关系。[解],,且以及之间均可对易。故同理同理可证,对于分别有,,及,,一般地,我们可以将上述各式合并写为:其中为循环指标,而8.求并由此推出分别与的对易关系。[解]同理可证:,,一般地,可以把上面的式子合并为9.一维谐振子处于基态,其中求[解]。利用第二章第3题的结果,我们知道是已归一化了的,故同理,注意到一维情况下,只须考虑,因此最后得讨论:①通过上面的计算看到,在一维谐振子的特殊情况下,其结论与测不准关系一致。②的结论,可以从动量几率分布函数得出,利用第二章第3题的结果,处于基

4、态的一维谐振子的动量几率分布函数为,它是的偶函数,,这从物理上看是很清楚的。这种对称性(坐标空间和动量空间)是一维谐振子的主要特征之一。③也可以从动量空间中求平均而得到。在以为自变量的表示式中,一维谐振子的薛定谔方程为,令代入上式可得在以为自变量的表示式中,考虑到算符,故薛定谔方程为同理可令,于是有显然的解只须在中以代替即得:而故和上面得出的结果一致。10.一维运动的粒子处在,求[解]由第二章第1题知归一化系数为在上面的计算中利用了积分公式最后得讨论:①,满足测不佳关系。②用及求得的结果也和上面

5、的结果一致。显然,在已知的情况下,把用算符代替,直接用坐标几率分布函数表计算或,比先由求动量几率分布函数,再由来或简单得多,由此可见,力学量用算符表示,非但有深刻的物理意义,而且也给计算带来方便。③在第四章将看到,一个力学量,不管用作自变数,还是用或其它量作自变数,计算出来的平均值都相同。从物理上看来,这也是明显的,因为平均值正是实验测量的值,它不应当和计算方法有关。11.求粒子处在态时角动量的分量和角动量分量的平均值;并证明:[解](1)先证明两个普遍的关系:可以用两种方法来证明。(a)从角动

6、量算符所满足的对易关系出发:或由一式与二式乘i后相加减可得:或用算符对运算得:另外,注意到和均可对易,故有:所以从上面二式可见既是的本征函数,本征值为,又是的本征函数,本征值为,亦即,具有的形式。令它的共轭复式是二式相乘,对积分,再注意到的正交性,得:(b)用直接求微分的方法证明而;其中故同样,对也有其中可证明如下:因为勒襄德多项式满足方程对上式求微商次后得到或故有(2)现在来求和注意到的正交性,亦即令同理可知故(3)注意到的正交性,得:同理可证:故方法三:在固定z轴不变的情况下,进行坐标旋转,

7、把原来的y轴变为x轴,仍然保持右旋坐标,这时角不变,唯一的改变是变为,注意到和的对称性,不难由在球坐标中的算符表示式看出而讨论:①为了证明,我们还可以用下面两种简并方法:(a)设为的本征态,则有而故同理,因为,可以证明(b)利用本章第12题的结论来证明令则显然都是厄密算符,的对易关系为:就是角动量分量之间所必须满足的对易关系利用12题的结论得出由于态是的本征态,在本片态中测量力学量有确定值,即力学量在态在平均平方偏差必须为零。故有要保证不等式成立,考虑到为非负的数,所以必须是。同理,只须利用,也

8、可以证明②在方法三中,不从物理上考虑,直接从对易关系出发,也很容易证明注意到即左乘得:利用右乘得:比较和可见,。再利用,按照方法三的讨论,很容易证明。12.若都是厄密算符,且,证明:[证]引入积分其中为实参数,显然这是关于的二次三项式,要它大于零,其判别式必须小于或等于零,即故B.若,且,证明,若为的本征函数,对应的本征值为,则也是的本征函数,对应的本征值为;也是的本征函数,对应的本征值为。[解]依题意则故是的本征函数,对应的本征值为,故也是的本征函数,对应的本征值为。14.证明狄拉克函数的下述

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