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《力学量的算符表示与氢原子-1节》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章量子力学中的力学量本块内容广博，务必以自学为主。自我教育，修炼成材，系大学教育目标之一。§1算符的运算规则§2动量算符和角动量算符§3电子在库仑场中的运动§4氢原子§5厄密算符的本征值与本征函数§6算符与力学量的关系§7共同本征函数§8测不准关系本块内容重点在于了解如何应用薛定谔方程求解氢原子能级（了解其数学步骤，重点在于思想）。其余关于“力学量的算符表示”内容比较广博，建议先阅读所发讲义“曾谨言《量子力学教程》第三章”，再对本ppt内容做一般性理解即可。“力学量的算符表示”中所包含的方法思路虽然为量子力学所有，但并非为其独有。实际上早在
2、量子力学诞生之前，这一套数学方法已经有，这说明其在其它学科中也有应用价值。学习它，对于提高数学修养，无疑帮助巨大。（一）算符定义（二）算符的一般特性说明：《4-力学量的算符表示与氢原子.ppt》将主要讲解“用薛定谔方程处理氢原子”部分，其余部分（力学量的算符表示与算符的各种特性），需要依靠学生自学。事实上，因为这部分内容牵涉数学推理，也比较难，不过不超越浙大学生智商所能，非常适合学生自学，但考试不会为难大家。§1算符的运算规则代表对波函数进行某种运算或变换的符号Ôu=v表示Ô把函数u变成v，Ô就是这种变换的算符。算符上的帽子，表示它的算符身份，
3、但有时也可以省去。1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：（一）算符定义（7）逆算符（8）算符函数（9）复共轭算符（10）转置算符（11）厄密共轭算符（12）厄密算符（1）线性算符（2）算符相等（3）算符之和（4）算符之积（5）对易关系（6）对易括号（二）算符的一般特性（基本知识，请自学）（1）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2
4、其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。满足如下运算规律的算符Ô称为线性算符（2）算符相等若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即Ôψ=Ûψ，则算符Ô和算符Û相等记为Ô=Û。例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（3）算符之和若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。Ô-Û=Ô+（-Û）
5、。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（4）算符之积若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（5）对易关系若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。显然二者结果不相等，所以:对易关系量子力学中最基本的对易关系。若算符满足ÔÛ=-ÛÔ，则称Ô和Û反对易。写成通式:但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。注意：当Ô与Û对易，Û与Ê对易，不能推知Ô与Ê对易与否。例如：（6）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括
6、号：[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。返回（7）逆算符1.定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=
7、0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1例如:设给定一函数F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（9）复共轭算符算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中（8）算符函数利用波函数标准条件:当
8、x
9、→∞时ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函数,所以同理可证:（10）转置算符(11)厄密共轭算符由此可得：:转置算符的定义厄密共轭算符亦可写成：算符Ô之
10、厄密共轭算符Ô+定义:可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+(12)厄密算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄密算符.2
