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时间：2018-12-07
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1、四.等参单元的数学分析由于引入坐标变换，使得应变矩阵，应力矩阵及单元刚度矩阵却带来了坐标变换的问题。1.坐标变量的变换式等参单元的坐标变换为：[y=XNi^^yi2.形函数编导的变换式由复合函数求导有：dxd会dxd/Jdxdydydrjdy由坐标变换式知:x，y可用么//表示，但由于不是线性坐标变换，故我们不能把用x，y來表示。故要川矩阵求逆的方法來处理。dN.dN：dxdN.dy..L=L•
2、L•—dxdyAMO)dN{_dN{dxdNfdy—•—"I*•—d/jdxdr/dydrjIIf-办afayIMax^avlaZ7写成矩阵形式：idNi]dxdNik、■%d
3、xa/v,.dxdrj-初初-dy令dNtf叫dx’dx是可求的dNi9N,dxdy由于x，y及；V,.均可表示为f，Z7的显式函数。故L/*j为的伴随矩陈，由的代数余子式组成。
4、j
5、为的行列式再巾坐标变换式：x=VTV.x；y=YNiyi•ZdN.dNf3"^^53376、初_axla^axla/71I同样可求得C/f1.积分变量的变换式在单刚伙］7、二］*£［D］［B}dxdy及荷载移置时都要用到积分的计算。下而我们就来确定这些变换。A.微分面积dA坐标变换式在x——y系巾:dA=dxdy.但被积函数不能用x，y表示。且x，y的积分限不好确定。在//系中的母单元为下图（a）把f-77坐标系放在子单元上有下图b在子单元上p点按么7］的等值线取微元体dA则：dA=axb—>令—>a=axi+ayji=bxi+byj则：面积矢量6M=(“夕+“、.j)x(z?A/+/?、,y).■>♦—争—>—>♦=axbxixj+aybyixj+axbyzxj+aybxjxi—>♦—>=+ciyby)o^(axby-aybx)ixj&8、的大小为：dA=a,by-ayb'=bzay•••，6fv和bx，b、.分别是＜7,5在x，y轴上的投影。3x¥dxciz=xq-xp=xg土dg，rf)-xg，7j)=T；dgbx=xs-xp=x(^ri+dr/)-x(^，7)=—d/j同理:a'.IIIIIIV-V-ta"^句Iavlla^l3X1197I-d^driII这就是微分面积dA的坐标变换式。在计算单刚及体力移置时要用。B.微分弧长ds的变换式弧长ds在x-y系中可表示为：ds=yj(cbc)2+(dy)2Vx=x(^,；7)y=y(^,7?)2V-IIII^9C9dJ9-33-33£a/7a)l9/79、dr/dr)在$=const的边上=>=0•••ds^=constdx3772+2d在•//=const的边上=>drj=Q•••dsrj=constdx+2以上两式为弧长ds的变换式五.等参单元的力学分析一1.应变矩阵[B]单元刚度矩阵..u=YNiui由儿何方程得:dudxdvdy3vdu1dxdy10、x令[Bt]=0则：[B]=[[B,][5」…—一单元的应变矩阵2.应力矩阵[sj和弹性矩阵[DJ对于弹性力学平而问题，弹性矩阵总是rh物理方程给出：[d就是单元的应力矩阵。由下式给出[d=剛[5]也可按节点分块[d=lk]kJ…W这里:[s{]=[d!Bz]（i=I，j，."”n）3.单元的单刚矩阵：弹性力学平面问题的单元刚度矩阵由下式给出对于等参单元，要把微分面积挽一下II[々]=[即11、华妙7-1-1这里：12、/13、为Cd的行列式。到此，我们己经推出了等参单元的全部结果。（荷载处理除外）。对具体单元具体处理。六.四节点等参单元1.单元的形函数及位移函数。Pq节点等参单元14、有4个节点I，j，k，m.为任意的叫边形单元（母单元为正方形单元）1.节点位移{A?={{A,.}{aJ{AJM}r={uiujvjukvku,tl2.坐标变换：mx=YJNixi
6、初_axla^axla/71I同样可求得C/f1.积分变量的变换式在单刚伙］
7、二］*£［D］［B}dxdy及荷载移置时都要用到积分的计算。下而我们就来确定这些变换。A.微分面积dA坐标变换式在x——y系巾:dA=dxdy.但被积函数不能用x，y表示。且x，y的积分限不好确定。在//系中的母单元为下图（a）把f-77坐标系放在子单元上有下图b在子单元上p点按么7］的等值线取微元体dA则：dA=axb—>令—>a=axi+ayji=bxi+byj则：面积矢量6M=(“夕+“、.j)x(z?A/+/?、,y).■>♦—争—>—>♦=axbxixj+aybyixj+axbyzxj+aybxjxi—>♦—>=+ciyby)o^(axby-aybx)ixj&
8、的大小为：dA=a,by-ayb'=bzay•••，6fv和bx，b、.分别是＜7,5在x，y轴上的投影。3x¥dxciz=xq-xp=xg土dg，rf)-xg，7j)=T；dgbx=xs-xp=x(^ri+dr/)-x(^，7)=—d/j同理:a'.IIIIIIV-V-ta"^句Iavlla^l3X1197I-d^driII这就是微分面积dA的坐标变换式。在计算单刚及体力移置时要用。B.微分弧长ds的变换式弧长ds在x-y系中可表示为：ds=yj(cbc)2+(dy)2Vx=x(^,；7)y=y(^,7?)2V-IIII^9C9dJ9-33-33£a/7a)l9/7
9、dr/dr)在$=const的边上=>=0•••ds^=constdx3772+2d在•//=const的边上=>drj=Q•••dsrj=constdx+2以上两式为弧长ds的变换式五.等参单元的力学分析一1.应变矩阵[B]单元刚度矩阵..u=YNiui由儿何方程得:dudxdvdy3vdu1dxdy10、x令[Bt]=0则：[B]=[[B,][5」…—一单元的应变矩阵2.应力矩阵[sj和弹性矩阵[DJ对于弹性力学平而问题，弹性矩阵总是rh物理方程给出：[d就是单元的应力矩阵。由下式给出[d=剛[5]也可按节点分块[d=lk]kJ…W这里:[s{]=[d!Bz]（i=I，j，."”n）3.单元的单刚矩阵：弹性力学平面问题的单元刚度矩阵由下式给出对于等参单元，要把微分面积挽一下II[々]=[即11、华妙7-1-1这里：12、/13、为Cd的行列式。到此，我们己经推出了等参单元的全部结果。（荷载处理除外）。对具体单元具体处理。六.四节点等参单元1.单元的形函数及位移函数。Pq节点等参单元14、有4个节点I，j，k，m.为任意的叫边形单元（母单元为正方形单元）1.节点位移{A?={{A,.}{aJ{AJM}r={uiujvjukvku,tl2.坐标变换：mx=YJNixi
10、x令[Bt]=0则：[B]=[[B,][5」…—一单元的应变矩阵2.应力矩阵[sj和弹性矩阵[DJ对于弹性力学平而问题，弹性矩阵总是rh物理方程给出：[d就是单元的应力矩阵。由下式给出[d=剛[5]也可按节点分块[d=lk]kJ…W这里:[s{]=[d!Bz]（i=I，j，."”n）3.单元的单刚矩阵：弹性力学平面问题的单元刚度矩阵由下式给出对于等参单元，要把微分面积挽一下II[々]=[即
11、华妙7-1-1这里：
12、/
13、为Cd的行列式。到此，我们己经推出了等参单元的全部结果。（荷载处理除外）。对具体单元具体处理。六.四节点等参单元1.单元的形函数及位移函数。Pq节点等参单元
14、有4个节点I，j，k，m.为任意的叫边形单元（母单元为正方形单元）1.节点位移{A?={{A,.}{aJ{AJM}r={uiujvjukvku,tl2.坐标变换：mx=YJNixi
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