不等关系与不等式

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1、3.1不等关系与不等式主要内容3.比较代数式大小的方法2.不等式的性质及其证明4.不等式的应用实例1.不等关系1.不等关系观察最低限速60km最低限速50km/hv50km/h最高限速120km小汽车限速范围60kmv120km/h问题1设点A与平面M的距离为d，B为平面M上的任意一点，则d

2、AB

3、AMBd问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？分析：若杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元.那么不等关系“销售的总

4、收入不低于20万元”可以表示为不等式问题3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？分析：假设截得500mm钢管x根，截得600mm的钢管y根.由题意，应有以下的不等关系：（1）截得两种钢管的总长度不能超过4000mm；（2）600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍；（3）截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：2.不等式的性质及其证明事实上，实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上不同的两点中，右

5、边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．譬如图中，设点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么a＞b．BAab回忆两个实数的大小是如何确定的？从上面的性质可知，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们研究不等关系的一个出发点.基本事实作差比较法1.不等式的性质性质1如果a>b,那么bb证明：由于a>b,可得a-b>0所以-（a-b）<0即b-a<0所以bb说明：此性质可称为不等式的自反性性质2如果a>b,b>c,那么a>c.证明：由于a>b,得a-b>0；又b>c，得b-c>0;所以a-c

6、=(a-b)+(b-c)>0即a-c>0所以a>c.说明：此性质可称为不等式的传递性。性质3如果a>b,那么a+c>b+c证明：由于a>b,得a-b>0；所以（a+c）-（b+c）=a-b>0即(a+c)-(b+c)>0所以a+c>b+c.说明：此性质可称为不等式的加法性质也叫平移性，即不等式的两边同时加上同一个常数，不等号的方向不变.性质4如果a>b,c>0,那么ac>bc;证明：由于a>b,得a-b>0；ac-bc=c(a-b)>0所以ac>bc.说明：此性质可称为不等式的乘法性质，也叫伸缩性：即不等式的两边同时乘上同一个正数，不等号方向不变，不等式的两边同时乘上同一个负数，

7、不等号的方向改变.如果a>b,c<0,那么ac0时ac-bc=c(a-b)<0所以acb,c>d,那么a+c>b+d;证明：由于a>b,得a-b>0又c>d,得c-d>0；说明：此性质可称为不等式的叠加性：两个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向.所以(a+c)-（b+d）=(a-b)+(c-d)>0所以a+cb>0,c>d>0,那么ac>bd;证明：由于a>b,得a-b>0,又c>d,得c-d>0ac-bd=ac-ad+ad-bd=a(c-d)+d(a-b)说明：此性质可称为不等式的叠乘性：两边都是正数的

8、同向不等式相乘，所得不等式与原不等式同向.所以ac-bd>0即ac>bd.由题意知a>0,d>0,且c-d>0,a-b>0性质7如果a>b>0,那么an>bn(nN,n2);证明：由于a>b>0,根据性质6，自乘得；aa>bb即a2>b2.说明：此性质可称为不等式的乘方的性质：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得的不等式和原不等式同向.继续用性质6，可得a3>b3.显然a2>b2>0,继续下去可得an>bn(nN,n2);性质8如果a>b>0,那么(nN,n2);证明：用反证法证明，假设结论不成立则；说明：此性质可称为不等式的开方的性质：当不等式的两边

9、都是正数时，不等式两边同时开方所得的不等式和原不等式同向.则得a=b，与已知a>b矛盾若若则由性质7,两边n次幂得ab矛盾.证明命题的方法简介在数学学科中，根据是否由论据直接过渡到论题，我们把证明命题的方法分为直接证明和间接证明.直接证明就是由论据按照推理规则直接推出论题的证明.其特点是：从论题出发，为论题的真实性直接提供证明理由.直接证明是最常见的证明方法.间接证明就是通过确定其他命题的虚假来确定论题真实性的证明，就