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1、§3.1不等式关系与不等式教学目的：1.在学生了解了一些不等式(组)生产的实际背景的前提下,学习不等式的有关内容;2.利用数轴回忆实数的基本理论,并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小,以及用实数理论来证明不等式的一些性质;3.通过回忆和复习学生所熟悉的等式性质类比得到不等式的一些基本性质;4.在了解不等式的一些基本性质的基础上,利用它们来证明一些简单的不等式;5.通过对富有实际意义问题的解决,激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度,同时去感受数学的应用性,体会数学的奥秘与数学的结构美,激发学生学习的兴趣.教学重点：1.用
2、不等式(组)表示实际问题中的不等关系,并用不等式(组)研究含有不等关系的问题;2.掌握不等式性质定理及推论,注意每个定理的条件;3.不等式的基本性质的应用.教学难点：1.用不等式(组)准确地表示出不等关系;2.差值比较法：作差→变形→判断差值的符号;3.不等式的基本性质的应用.教学过程：一、引入新课：在现实世界和日常生活中,既有相等关系,又存在着大量的不等关系.如两点之间线段最短,三角形两边之和大于第三边,等等.人们还经常用长与短、高与矮、轻与重、胖与瘦、大与小、不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系.在数学中,
3、我们用不等式来表示不等关系.下面我们首先来看如何利用不等式来表示不等关系.二、讲解新课：(一)用不等式表示不等关系引例1限速km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度不超过km/h,写成不等式就是:引例2某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量应不少于,蛋白质的含量应不少于,写成不等式组就是——用不等式组来表示问题1:设点与平面的距离为,为平面上的任意一点,则.问题2:某种杂志原以每本元的价格销售,可以售出万本.据市场调查,若单价每提高元,销售量就可能相应减少本.若把提价后杂志的定价设为元,怎样用不等式表示销售的总
4、收入仍不低于万元呢？解:设杂志社的定价为元,则销售的总收入为万元,那么不等关系“销售的总收入仍不低于万元”可以表示为不等式问题3:某钢铁厂要把长度为mm的钢管截成mm和mm两种.按照生产的要求,mm的数量不能超过mm钢管的倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢?解:假设截得mm的钢管根,截得mm的钢管根.根据题意,应有如下的不等关系:(1)截得两种钢管的总长度不超过mm;(2)截得mm钢管的数量不能超过mm钢管数量的倍;(3)截得两种钢管的数量都不能为负.要同时满足上述的三个不等关系,可以用下面的不等式组来表示:(二)不等式的
5、基本性质1.判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数,在三种关系中有且仅有一种成立.判断两个实数大小的充要条件是:由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了．2.不等式的定义用不等号连接两个解析式所得的式子,叫做不等式.说明:(1)不等号的种类:.(2)解析式是指:代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等).(3)不等式研究的范围是实数集.3.同向不等式与异向不等式同向不等式:两个不等号方向相同的不等式;例如,是同向不等式.异向不等式:两个不等号方向相反的不等式;例如,是异向不等式.4.不等式的性质定理1
6、：如果,那么,如果,那么.(对称性)即证明:∵∴由正数的相反数是负数,得即∴(定理的后半部分略)点评：定理1即定理2：如果且,那么.(传递性)即证明：∵∴根据两个正数的和仍是正数得即∴点评：(1)根据定理l,定理2还可以表示为;(2)不等式的传递性可以推广到个的情形.定理3：如果,那么.即(加法性质)证明：∵∴∴即点评：(1)定理3的逆命题也成立;(2)利用定理3可以得出,如果,那么,也就是说,不等式中任何一项改变符号后,可以把它从—边移到另一边.推论：如果且,那么(相加法则)即证法一：证法二：点评：这一推论可以推广到任意有限个同
7、向不等式两边分别相加,即两个或者更多个同向不等式两边分别相加,所得不等式与原不等式同向.定理4：如果且,那么;如果且,那么.(乘法性质)证明：∵∵∴当时,即当时,即推论1:如果且,那么.(相乘法则)证明：①又∴②由①、②可得.说明：(1)所有的字母都表示正数，如果仅有，就推不出的结论.(2)这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘,所得不等式与原不等式同向.推论2:若.说明：(1)推论2是推论1的特殊情形;(2)应强调学生注意的条件,如果,那么(
8、且).定理5:若,则(且).(指数运算性质)点拨：遇到困难时,可从问题的反面入手,即所谓的“正难则反”.我们用反证法来证明定理5,因为反面有两种情形,即和,所以不能仅仅否定了,就“归谬”了事,而必须进行“穷举”.证明：假定不大于,这有两种情况或者由
