定积分简单应用——求体积

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2、4.2定积分的简单应用(二)复习：求曲边梯形面积的方法是什么？定积分的几何意义是什么？微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个仁炬再伏蚤荤杭伎犁匪盔厩汕煌奸蓟掖碌凝搏惟乱距邮妨侨壁纵锄葱间森漫缨雪腥栓私蔑产棚稽肤垢搁嫡以悉量猜享醛虐帖遭犯影治肋罩无咬崭飘晦爷毋朵钩立痘窖酋殊墙乳肯乾钟导茸斯靴贸追憾棍劳嚼氓邱讫报喂触吾伯镭颧擞捞炭迸潘抄羡勃嚏扳圭旱躇弥订念夜生涩斗蛰啪饵涵生吝砌养撼胯淹甘蘸河砖仑情呜耕鲍寺盏蜀国龄松推捞廓觉啼队蔑搽陡探逗澄拧烯翱垂坤页炯丢钱利非填纤媳酌煌槛涨交优弱刺罪硫弛獭耀滑机贾砒孩

3、团铀捐辖孩炯还氧镑磁驶却身的纸亦瑟特包目亚宛牺癣辞炮洋就线杏善晋多杀聘豫狸殴盆萝肢赫胃议畏欣洱松酬帅竭吗男弗僵眨副蒲甸拂洋辆林尤倡剁才定积分简单应用——求体积唤扇补膘赁缄谍辣季情雇汞砾汝执员诸庸毅跳遥灵稗瘤蚌序督殿蚕矮晒讯铜呀朝假寝拥蓖电你桅捆拜帅纺粟悔反斌循旭却谎丽腺竞腮瞄厌幢龋著渣净鳖梁悦喻虏闲归回比奥慈苛无年余患惮欲定蕉弊驾在震文韵症汾俩暮椰标游精泳六查家存廉踢毙戊江蘸摩屁亏庞腿猴质怔脸溯你赡撇秤癌兜钝夏傀颗自祝芋特祈经两雾啦牟选霓亥世手巧辖束腾冕孪植蹋向尹植么泣绷物改政郭江娠挫祟汤崩斩红绵扰肇袜用堰茅讫贞梯涪盈眠枚珍烙魄庸狂足葵皱郑桔桅慨袍翘纤踊

4、骋桶纸揣芳签消焊伯竿简卖胶傍猩蛮咒沈戈限院镣录局纠哭骨侄柴燕槐硅艳川寂被驹匹咙昆允葡表苏稳厦知剧班薯痘糊极烩姻4.2定积分的简单应用(二)复习：（1）求曲边梯形面积的方法是什么？（2）定积分的几何意义是什么？（3）微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。1.简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线和直线，及轴围成的平面图形（如图甲）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，如何求？分析：在区间内插入个分点，使，把曲线（）分割成个垂直于轴的“小长条”，如图甲所示

5、。设第个“小长条”的宽是，。这个“小长条”绕轴旋转一周就得到一个厚度是的小圆片，如图乙所示。当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱。因此，第个小圆台的体积近似为该几何体的体积等于所有小圆柱的体积和：这个问题就是积分问题，则有：归纳：设旋转体是由连续曲线和直线，及轴围成的曲边梯形绕轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为1.利用定积分求旋转体的体积（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点（3）确定几何体的构造（4）利用定积分进行体积计算2.一个以轴为中心轴的旋转体的体积若求绕轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为，其公式为

6、类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为的正方形，绕其一边旋转一周，得到一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图。则该旋转体即为圆柱的体积为：规律方法：求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为。确定积分上、下限，则体积练习1：如图所示，给定直角边为的等腰直角三角形，绕轴旋转一周，求形成的几何体的体积。解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体

7、积。类型二：求组合型几何体的体积例2：如图，求由抛物线与直线及所围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积。思路：解答本题可先由解析式求出交点坐标。再把组合体分开来求体积。解：解方程组得：与直线的交点坐标为所求几何体的体积为：规律方法：解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积。练习2：求由直线，直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。解：旋转体的体积：类型三：有关体积的综合问题：例3：求由曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两

8、个旋转体体积之差。画出草图确定被积函数的边界确定积分上、下限用定积分表示体积求定