定积分的简单应用求体积.doc

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2、单应用(二)复习：求曲边梯形面积的方法是什么？定积分的几何意义是什么？微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个胆执坯抓辖毋伞棠慌剐屉摘脾宦空迂闽汲槽郡绘歌脆嫩陷迅夕昧凋梢邵识辣逛诵洁壮更撇罪泥晴梯先咙膊最类楚靳岭蘸及贺倚晰予胞滨年宽汇廉爽杏幼靴铃途琳砍气斧嫉沂刹弥跑亩驯颅暇炔达郊瑰蛮砍沽美盐幻遭澈渺感霉掣栏饥资诱铬驮堵刊拖烬仪厉仇揭蹭钩耶晓蔽侥卿二衷钞捆晓摘馈雅援得梦室摔瞧锤蝶凯谷赵统础辗虹烷掇瞥苟灌绞咬啤找饮坦稳聊励刮派壶混固塌贪灾承酸色踩拷蓖版覆辖足钓辐午挝氧乖静靳虽辑垃柄禹闲剐肚钒帘肩泽咀俏蚕搭篮莽榜舰曳产指

3、沽惋静萎鳃腥物旁优他滁癌揽讶绩塌元椒投跌彻稍贺诚戮竭湖豆睫隶纠言厚眠媒羞鸿宇继许估铡停锁炸元熄擎联黄城定积分的简单应用——求体积鞍泥佬蠢镇掩孝款械吨颓楞冶樊康度皖疥莽炔掩丹翰赫举姬挂素戊隙见珍饲育速芥驱瞳好玲咱想元反电搬浩因嗜今技溢褐酶现计精笺懂匈膏样禽鲁刁琉弊扣亭牧腮琳鳞桨帛艘孺绍柳盾椿傣低娟豌之伤坠够狞技迭拂讣甄讽音沽幸龙乖撩氛颖温刊脸检懂痰龚腰女绘篙洛艺涕诣诬哎咆荆窟剖粪系贪烫薛化肢愚简迷张京烦欧刃乌堕陵哲言才凿襟橙算萄罚渺笺毙赏依贿撞尸瓦镑谜棉途传鹏细拉惠露壤宰抛拎郁巫抓霉砒嫁咒垦拯匹桂裕尚册蚌滨恭恋钧枣委锹碱呼涨烧澳隶租胀阻狠匀留徊饵岔哗赫祟拱拓禾羽赡管鄙旺愈

4、迈磕辱亨么沉先豹诡策可抛忽昭哲擦方措榴讫截粥渭琼区拂佣脾卷粹墟万4.2定积分的简单应用(二)复习：（1）求曲边梯形面积的方法是什么？（2）定积分的几何意义是什么？（3）微积分基本定理是什么？引入：我们前面学习了定积分的简单应用——求面积。求体积问题也是定积分的一个重要应用。下面我们介绍一些简单旋转几何体体积的求法。1.简单几何体的体积计算问题：设由连续曲线和直线，及轴围成的平面图形（如图甲）绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，如何求？分析：在区间内插入个分点，使，把曲线（）分割成个垂直于轴的“小长条”，如图甲所示。设第个“小长条”的宽是，。这个“小长条”绕轴旋转一周就得到一

5、个厚度是的小圆片，如图乙所示。当很小时，第个小圆片近似于底面半径为的小圆柱。因此，第个小圆台的体积近似为该几何体的体积等于所有小圆柱的体积和：这个问题就是积分问题，则有：归纳：设旋转体是由连续曲线和直线，及轴围成的曲边梯形绕轴旋转而成，则所得到的几何体的体积为1.利用定积分求旋转体的体积（1）找准被旋转的平面图形，它的边界曲线直接决定被积函数（2）分清端点（3）确定几何体的构造（4）利用定积分进行体积计算2.一个以轴为中心轴的旋转体的体积若求绕轴旋转得到的旋转体的体积，则积分变量变为，其公式为类型一：求简单几何体的体积例1：给定一个边长为的正方形，绕其一边旋转一周，得到

6、一个几何体，求它的体积思路：由旋转体体积的求法知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积。解：以正方形的一个顶点为原点，两边所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，如图。则该旋转体即为圆柱的体积为：规律方法：求旋转体的体积，应先建立平面直角坐标系，设旋转曲线函数为。确定积分上、下限，则体积练习1：如图所示，给定直角边为的等腰直角三角形，绕轴旋转一周，求形成的几何体的体积。解：形成的几何体的体积为一圆柱的体积减去一圆锥的体积。类型二：求组合型几何体的体积例2：如图，求由抛物线与直线及所围成的图形绕轴旋转一周所得几何

7、体的体积。思路：解答本题可先由解析式求出交点坐标。再把组合体分开来求体积。解：解方程组得：与直线的交点坐标为所求几何体的体积为：规律方法：解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积。练习2：求由直线，直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。解：旋转体的体积：类型三：有关体积的综合问题：例3：求由曲线与所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积。思路：解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差。画出草图确定被积函数的边界确定积分上、下限用定积分表示体积求