定积分求体积

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1、定积分在几何上的应用2——求立体的体积　　有两种情形的几何立体的体积可用定积分来计算，它们是　　(1)平行截面面积已知的立体　　选与平行截面垂直的直线为x轴，截面面积(函数)为S(x)．设立体可在的x轴上的范围是区间[a，b]，任取一小区间(“微元”)[x，x＋Δx]，夹在过两个端点的平行平面间的立体体积(“微元”)ΔV与相应的圆柱体体积S(x)Δx，它们相差至多是ΔS·Δx＝[dS＋0(Δx)]Δx＝[S'(x)Δx＋0(x)]Δx＝0(Δx)，即ΔV＝S(x)Δx＋0(Δx)，或dV＝S(x)dx，

2、由此得到立体体积　　⑧式所说明的和立体几何中的“祖暅原理”是一回事．　　(2)旋转体．　　由曲线y＝f(x)(f(x)≥0，a≤x≤b)与直线x＝a，x＝b及x轴所围图形绕x轴旋转而成的立体的体积为　　因为在坐标x处的截面面积为S(x)＝πf2(x)，故由⑧即得⑨．　　　　　　　　　　解取z轴为积分轴，积分变量z的取值范围是－c≤z≤c，椭球与在z处垂　　　　所求椭球的体积为　　　　例8以一平面截半径为R的球，截体高为h，求被截部分的体积．　　解取垂直于截面的直径方向为x轴，即积分轴，在沿x轴的截面上建

3、立坐标系如图1．　　　　被截下的部分可以视为由阴影部分绕x轴旋转所得的旋转体，其体积为　　　　　　其中h的取值范围可以是0＜h＜2R．此即立体几何中的球缺体积公式．　　例9设底半径为a的圆柱，被一过底面直径的平面所截，如图2，截下楔形的高为h．求此楔形的体积．　　解取截面与底面相交的直径方向为x轴，底面中心为原点，于是考虑－a≤x　　　　所求楔形体积为　　　　例10求由内摆线(星形线)绕x轴旋转所成的旋转体的体积．　　　　　　　　　　解摆线在0≤t≤2π上有0≤x≤2πa，y≥0．　　且dx＝a(1－c

4、ost)dt．　　故由旋转体体积公式得　　　　　　例12求由曲线y＝2x－x2和y＝0分别绕x轴和y轴旋转所成曲面包围的体积．　　解作抛物线y＝2x－x2的图形如图4．　　易知它绕x轴旋转时所成的体积为　　　　而绕y轴旋转时，x作为y的函数有二支，即由方程可解出　　　　因而所生成的旋转体的体积应当等于它的分别生成的旋转体体积之差：　　　　其中x1≥x2≥0，当0≤y≤1时．　　当处理有上述情形的曲线时，⑩可以作为一个公式来用．由此可见处理旋转体的情形时一定要注意曲线的形状．　　由⑩可知所求抛物线绕y轴旋

5、转的体积为　　　　习题　　13．用定积分求两底面半径为r和R，高为h的圆台体积．　　14．设立体的垂直于x轴的截面面积为S(x)＝Ax2＋Bx＋C，a≤x≤b，A、B、C为常数，求证：此立体的体积为　　　　15．底面半径为2的圆柱被过底面圆的一条弦的平面所截，该弦中点到圆的中心的距离为1，且被截去的楔形不含底圆的中心，楔形的高为3，求此楔形体积．　　16．抛物线y＝x2＋1和直线y＝2围成的面积分别绕x轴和y轴旋转时得到两个旋转体，求它们的体积．　　17．求圆x2＋(y－b)2＝a2(0＜a≤b)绕x轴

6、旋转所生成的旋转体的体积．　　18．求曲线y＝sinx和x轴上的线段[0，π]围成的面积绕y轴旋转所生成的体积．　　　　20．设两个半径都是r的圆柱，其轴互相垂直，求它们围成立体的体积．　　答案　　　　　　　　17．2π2a2b．