高数课程习题全

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1、课程习题第一章函数与极限1．填空题（1）设，则。（2）设，则的一个可去间断点为。（3）若时，与是等价无穷小，则。2．单项选择题：（1）在（）内为（）（A）周期函数。(B)偶函数。(C)有界函数。(D)单调函数。（2）当时,函数的极限()(A)等于2。(B)等于0。(C)为无穷大。(D)不存在但也不为无穷大。（3）设是定义在[]上的单调增加函数，，则（）（A）存在但不一定存在。（B）存在但不一定存在。（C）与都存在但不一定存在。(D)一定存在。（4）当时，6（）是的（）（A）高阶无穷小。（B）同阶但非等价无穷小。（C）低阶无穷小。（D）等价无穷小。3．设，，试确定之值，使为奇函数。

2、4．利用数列极限的定义。5．求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）6．设，求常数，使存在7．讨论函数极限：。8．求的间断点，并判定其类型。9．设（），试确定常数使在处连续。10．设函数对于闭区间[]上任意两点，，恒有（为正的常数），且。证明：存在，使。参考答案：1．（1）（2）1（3）12．（1）B（2）D（3）C（4）C3．5．（1）3.5（2）2（3）（4）（5）（6）0（7）6．7．不存在8．，的第一类跳跃间断点。9．第二章导数与微分1．1． 求下列函数的导数和微分或高阶导数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。2．设中的三阶导数存在，求。3．设

3、。4．设，其中均二阶可导，求。5．由方程，试求（其中）。6．设曲线的参数方程为，求曲线在处的切线方程和法线方程。7．设所确定，作自变量代换后，试证明函数满足方程。8．设有一个正圆锥体，其底半径以1.5的速度增加，其高以3的速度在减少，当半径为40，高为30时，求其体积及表面积的变化率。9．单摆的周期（以秒为单位）由确定，其中重力加速度，摆长应是多少？10．设都是实数，为自然数，且。 参考答案：1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）28802．，3．4．5．6．切线方程：；法线方程：。8．9．第三章微分中值定理与导数的应用1．求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

4、。2．设具有连续的二阶导数，且，试求。3．求的极值。4．确定曲线的凹向与拐点。5．求曲线在处的曲率。6．设椭圆的切线分别与轴、轴交于、两点，求（1）线段的最小值；（2）线段与坐标轴所围三角形的最小面积。7．证明下列不等式：（1）设，则；（2）当时，。8．设函数与在闭区间上连续，在（）内可导，且，试证：至少存在一点，使。9．求证方程在内必有唯一实根，并求。参考答案：1．（1）（2）1（3）0（4）（5）（6）（7）2．33．为极小值，为极大值。4．拐点，在内上凸，在内上凹（）。5．6．（1）（2）9．第四章不定积分1．1． 求下列不定积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）

5、（8）（9）（10）（11）（12）2．2． 设函数，试求的原函数，使。3．3． ，其中为自然数，求关于下标的递推公式。4．4． 设的原函数，且，当时有，求。 参考答案：1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）2．3．4．第五、六章定积分及其应用1．1． 计算下列定积分或反常积分：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2．设，求。3．设，求。4．求的极小值。5．设，，讨论在处的连续性与可导性。6．设，求抛物线与它在点()处的法线所围成平面图形的面积。7．已知抛物线过三点,欲使图中阴影部分绕轴旋转一周所得的旋转体的体积最大，求与之

6、值。8．设内连续，，试证：。9．设函数在区间上都连续，求证。10．设在上可导，且，试证：对图形中所示的两块面积和来说，存在唯一的，使得。参考答案：1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2．或3．4．极小值为5．在处连续但不可导。6．7．第七章空间解析几何与向量代数1.设，其中，且，问（1）为何值时，？（2）为何值时，以与为邻边的平行四边形面积为6？2．设，求同时垂直于，且在向量上的投影是14的向量。3．求过三平面的交点，且平行于平面的平面方程。4．决定，使直线和直线相交。5．求曲线关于面的投影柱面和在面上的投影曲线方程，并求曲线C所在的平面方程。6．求球面与过其中心

7、且同直线垂直的平面的交线在面上的投影曲线的方程。7．试在平面与三坐标面所围成的四面体内求一点，使它与四面体各侧面间距离相等，并求内切于四面体的球面方程。1．1． 将曲线（）分别绕轴旋转一周，写出所得旋转面的方程。2．2． 求通过直线且切于球面的平面方程。3．3． 在直线上求一点，使之与点（3，2，5）的距离最近。参考答案：1．（1）（2）2．3．4．5．；；6．7．8．9．10．（1，1，2）第八章第八章  多元函数微分法及其应用1．已知,求。2．设，求。3．设是由方程所确定的隐