分式方程的几种特殊解法

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1、分式方程的几种特殊解法白云中学：孙权兵解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。一、加减相消法。例1、解方程：。分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式，则可以通过在方程两边都加上分式，就将原方程化简成，从而轻松获解。解：原方程两边都加上，则可得：去分母，得：

2、解得：经检验，是原分式方程的解。二、巧用合比性质法。8例2：解方程：。分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。解：由合比性质可得：去分母并化简得：，即解得：经检验，是原分式方程的解。一、巧用等比性质法。例3、解方程：。分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。解：由等比性质可得：。化简得：经检验，是原分式方程的解。8一、分组化简法。例4、解方程：。分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求

3、解。解：原方程可化为：分别通分并化简，得：解得：经检验，是原分式方程的解。二、倒数法。例5、解方程：。分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解，过程较复杂。但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。解：原方程两边取倒数，得：移项化简，得：方程两边取倒数，得：解得：经检验，是原分式方程的解。三、列项变形法。8例6、解方程：。分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。若注意到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为1。凡是这样的分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。。解：原方程可化为：去分母化简得：解得：

4、经检验，是原分式方程的解。一、换元法。例7、解方程：。分析：注意到与互为倒数，因此可考虑换元法，化繁为简，化难为易。解：令，则，故原方程可化为：8去分母化简得：解得：所以化简得：解得：经检验，是原分式方程的解。一、化为整式部分和分式部分之和的变形法。例8、解方程：。分析：若一个方程的分子的次数高于或等于分母的次数，则可把这个分式化为化为整式部分和分式部分之和的形式，如此即可妙解分式方程。解：原方程可化为：去分母得：解得：经检验，是原分式方程的解。二、巧用特殊方程法。例9、解方程：。8分析：对于方程，我们易知它的根为。而本题可化为的形式，所以利用上述结论可巧妙将方程解出。。解：原方程可

5、化为：或解得：经检验，是原分式方程的解。一、设辅助元法。例10、解方程：。分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分繁杂。如果我们观察到原方程的特殊结构，采用设辅助元，令，则可得，而原方程则可化为，进一步可构造和为根的一元二次方程，然后在求出和的基础上获得原方程的解。解：设，则可得①又原方程则可化为②所以由①、②可知：和可以看作一元二次方程的两个实数根。8解之得：所以有：或进一步解得：。经检验，是原分式方程的解。一、函数图象法。例11、解方程：。分析：原方程可化为，我们可以将此方程的两边分别看作二次函数和反比例函数。然后在同一直角坐标系分别作出它们的图象，两个函数交点的

6、横坐标即是原方程的解。解：原方程可化为：。将此方程的两边分别看作二次函数和反比例函数。在同一直角坐标系分别作出它们的图象（如下图）：8观察图象，可以发现两个函数的图象只有一个交点，且交点坐标为（1,3）故原方程的解为。经检验，是原分式方程的解。以上介绍了分式方程的十一种解题技巧，解题关键在于把握分式方程整体的结构特点，选择恰当的技巧和方法，这样才能化繁为简，化难为易，轻松获得原方程的解。有时候还需几种技巧和方法融为一体，共同发挥作用。8