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1、导数的应用—函数的最大值与最小值（1）1.当函数f(x)在x0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:①如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧右侧,那么,f(x0)是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到.3.在某些实际问题中,我们所关心的往往是函数在一个定义区间上,哪个值最大,哪个值最小,而不是极值.前课复习如何用导数来解决函数的最大值、最小值问题？xX2oaX3bx1y观察右边一个定义在区间[a,b]
2、上的函数y=f(x)的图象.发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？连续函数的最大值和最小值定理如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值。新课引入设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最
3、大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.求函数的最值时,应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念.(2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.新课教学(3)函数在其定义域上的最大值与最小
4、值至多各有一个,而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值(或极小值).(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.(5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值进行比较.新课教学例求函数y=x4-2x2+
5、5在区间[-2,2]上的最大值与最小值。x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y′-0+0-0+y1313454当x变化时，y′、y的变化情况如下表：故函数的最大值为13,最小值为4.例题讲解当x变化时，y′、y的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y′+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，可知函数在［－4,4］上的最大值为f(4)=76，最小值为f(1)=－5解:(1)由f´(x)=3x²+6x－9=0,(2)区间［－4,4］端点处的函数y=x³+3x
6、²－9x在[－4,4]上的最大值为,最小值为。例.得x1=－3，x2=1函数值为f(－3)=27,f(1)=－5函数值为f(－4)=20,f(4)=76例题讲解求下列函数在指定区间内的最大值和最小值。最大值f(－1)=3，最小值f(3)=－61最大值f(3/4)=5/4，最小值f(－5)=－5+课堂练习最大值f(－π/2)=π/2，最小值f(π/2)=－π/2例:求函数在区间[-1,3]上的最大值与最小值.解:令,得相应的函数值为:又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0比较得,f(x)在点处取得
7、最大值在点处取得最小值例题讲解练习:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最大值.解:令,解得在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0,故所求最大值是练习:求函数f(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最大值和最小值.答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.课堂练习练习：P132设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：①:求y=f(x)在(a，b)内的极值(极大值与极小值);②:将函数y
8、=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.注：如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值.课堂小结补充1:设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b.解:令得x=0或a.当x变化时,,f(x)的变化
