第6章[定积分和应用]之内容方法

《第6章[定积分和应用]之内容方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、WORD格式整理第六章(定积分及其应用)之内容方法不定积分是微分的逆运算，其实质还是微分，而定积分是无限求和，是真正意义上的积分。它是积分学中的又一非常基本的概念。连接不定积分与定积分或微分与积分间的桥梁是微积分学基本定理。定积分的的定义：（1）（1）      分割（2）（2）      作和：（3）（3）      取极限：。定积分的几何意义：当时，是由曲线，，，所围的曲边梯形的面积。定积分存在定理：若在上连续或只有有限个第一类间断点，则一定存在。定积分的基本性质：（1）对区间的可加性：=；（2）线性性质：；（3）不等式：；（4）估值不等式：，其中,分别是在上的最小值和最大值；(5)

2、中值定理：若在上连续，则必有一点使得，称为积分均值。变上限积分：若在上连续，则当时，。专业知识分享WORD格式整理由此可见，是的一个原函数。这样，它把不定积分和定积分联系起来，有时把它称作微积分学基本定理。牛顿—莱布尼兹公式：设连续，是的一个原函数，则。上述公式也称为微积分基本公式，它把定积分的计算问题转化为求原函数的增量，从而为定积分的计算提供了有力的工具。定积分的计算：(1)用定积分的定义；（2）用牛顿—莱布尼兹公式；（3）凑微分法(不必改变上下限)；（4）换元法：令，（换元换限不换回）；（5）分部积分法：。无界函数的广义积分的概念：（1）当时，，定义；（2）当时，，定义；（3）当时

3、，，定义当各式中的极限存在时，称广义积分收敛，否则称为发散。无穷区间的广义积分的概念：(1)；（2）；（3）。当各式中的极限存在时，称广义积分收敛，否则称为发散。定积分的应用：（1）（1）             求平面图形的面积（曲边梯形）及专业知识分享WORD格式整理（极坐标下角形域）；（1）（2）             已知平行截面面积的立体体积：；（2）（3）             绕轴转所得旋转体体积：。（3）（4）             曲线的弧长;曲线的弧长为；曲线的弧长为；（4）（5）             物质曲线：的质量为；（5）（6）            

4、 在的平均值：；在均方根值：（6）（7）             变力沿直线做功：。（7）（8）             变速直线运动的路程：。专业知识分享WORD格式整理第六章(定积分的应用)之例题解析例6.1(关于变上积分)：设f(x)在(a£x£b)内连续，且。证明函数在(0,+∞)内单调增。证明：故在为单调增。例6.2求解：这是一个型未定式。可看成以u=cosx为中间变量的复合函数。从而。由洛必塔法则有，=。例6.3计算下列积分1．；2.;3..专业知识分享WORD格式整理解：1.原式=。2.此题用第二换元法(换元换限不换回)。令，则1+lnx=t2,.故原式=)。3.解：原式因

5、为是奇函数，所以。又因为是偶函数，。所以原式例6.4若f(x)在[0,1]上连续，证明证明：设则dx=–dt,且专业知识分享WORD格式整理当x=0时，；时，t=0.于是注意：此处用到“定积分与积分变量无关”的结论。例6.5证明广义积分当a<1时收敛，当a³1时发散。证明：x=0是函数的无穷间断点。(1)(1) 当a<1时，因故收敛。(2)(2) 当a=1时，故此时积分发散。同理，当a>1时，也发散。例6.6计算抛物线y2=2x与直线y=x–4所围成的图形的面积。解：联立两曲线的方程可求得交点为(2,-2)和(8,4).根据区域的形状，选取y为积分变量,则所求面积是两个曲边梯形之差，即例

6、6.7一圆柱形的贮水桶高为5米，底圆半径为3米，桶内盛满了水。问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作x轴使其正向朝下，取深度x为积分变量，它的变化区间为[0,5],相应于[0,5]上任一小区间[x,x+dx]的一薄层水的高度为dx.水的比重为9800牛/米3，这薄层水的重力为9800´32πdx,这薄层水吸出桶外需作之功为dw=(9800´32πdx)x.故所求功为焦。专业知识分享WORD格式整理专业知识分享