定积分方法和应用(1)

《定积分方法和应用(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、DDY整理例1解先求出被积函数的一个原函数，令，则                            =下面用另一种方法求解，令，当时，，时，，有=              显然，后一种方法比第一种方法更简便，下面给出定积分的换元积分法。DDY整理定理设函数在区间上连续，函数满足（1）；（2）在（或）上单值单调，且有连续导数，则有例2解令则；当时，，时，   ，于是原式=换元公式也可反过来使用，由引入新变量，                看下例例3解令，，当时，；时，   DDY整理        

2、      注意：1. 用定积分换元法时,在变换积分变量的同时也要变积分限；但对应于不定积分中的第一类换元法（凑微分法），当代换没有具体写出新变量时，积分限不用变， 如     2. 使用换元法时要注意条件， 如  （令）错，因时， 不是单值的。例4设在上连续，证明：证明：DDY整理 为偶函数时， 为奇函数时，这个公式要记住。如（1）=0  （2）在上连续，且，       则 例5计算（为对称区间，被积函数第一项为奇函数）解原式        例6设是以为周期的连续函数，证明：DDY整理证明：而     

3、（）                  所以例7                   此题利用了周期性，的周期为。例8设为连续函数，证明：证明：令，                          DDY整理和取法同不定积分例9解原式例10解    例11解原式        所以，原式例12设，证明：。证明：设DDY整理   例13证明：，其中在所考虑的区间上连续。分析：所要证明的等式左端，其被积函数是一个变上限积分函数，而，所以等式左端应用分部积分公式后就可化掉一个积分号。证明用分部积分法有 所以从上

4、一章求曲边梯形的面积及变速直线运动物体的距离问题中看到，可利用定积分来计算几何、物理等问题中的某些待求量。一般，设实际问题中的所求量 U 是一个与变量的变化区间有关的量，且量U 对区间具有可加性，即，部分量可表示成，则可考虑用定积分来求量 U 。具体做法是：DDY整理（1）根据具体问题选取适当的坐标和积分变量，并确定它的变化区间；（2）将分割成若干个小区间，任取一个代表区间，求出这个区间上 △U 的近似表达式：构造一个在连续的函数使 △，把称为 U 的元素记为：；（3）所求量 U 等于 U 的元素在上的积分

5、 这种方法称为元素法或微元法。1.直角坐标情形（1）由曲线与轴在区间段所围图形的面积为DDY整理 （2）设在区间连续，由曲线、与所围图形的面积为（3）设在上连续，由曲线、与所围图形的面积为DDY整理（上面公式不用背，可用定积分的元素法推出）例1计算由两条抛物线：所围成的图形的面积。解法一用定积分几何意义（1）画草图，定出图形的范围。         （2）求曲线的交点。解得选为积分变量（3）用定积分表达所求面积。所求面积等于两曲边梯形面积之差：解法二 元素法（1）作图、求曲线交点（同上），取为积分变量，（2

6、）求面积元素（3）积分例2求由曲线及所围成的面积。DDY整理解法一作图，求出两曲线交点是（2，-2），（8，4）取为积分变量，。时，，时，注意：在不同的区间内面积元素不同，要分区间积分。解法二选为积分变量，，在上，   （ 选为积分变量时被积函数的自变量为）可见，适当的选取积分变量可以简化计算。