大数定理和中心极限定

《大数定理和中心极限定》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第6章大数定理和中心极限定理6.1大数定理6.2中心极限定理6.1大数定理学校有10000个学生，平均身高为a；若随意观察1个学生的身高X1，则X1与a可能相差较大。若随意观察10个学生的身高X1,X2,…,X10，则10个数据的均值(X1+X2+…+X10)/10与a较接近；若随意观察100个学生的身高X1,X2,…,X100，则100个数据的均值(X1+X2+…+X100)/100与a更接近；若随意观察n(n＜10000)个学生的身高X1,X2,…,Xn，则n个数据的均值(X1+X2+…+Xn)/n，随着n的增大而与a接近。定义设X1，X2，…，Xn,…是随机

2、变量序列，如果存在一个常数序列{an}，对，有则称随机变量序列{Xn}服从大数定律。定理1(辛钦大数定理)设X1,X2,…,Xn…是独立同分布的随机变量，记它们的公共均值为a，又设它们的方差存在，并记为2，随机变量的频率为，则对任意给定的＞0，有定理1的意义：随着n的增大，依概率意义越来越接近a；而不接近a的可能性越来越小。(该定理的证明需要用契比雪夫不等式。）6.1.1马尔科夫不等式若X是只取非负值的随机变量，则对任意常数>0，有证明6.1.2契比雪夫不等式若D(X)存在，则对任意常数>0，有证明定理1的证明：6.1.3伯努利大数定理(频率收敛于概率)设

3、pn是n重伯努利试验中事件A出现的频率()，在每次试验中P(A)=p是常数，设Xn~B(n，p)，其中n=1,2,…，(0＜p＜1)则对任意正数＞0，有伯努利大数定理的意义：随着n的增大，依概率意义讲，频率pn越来越接近概率p，而pn不接近p的可能性越来越小。但不能说：。因为可能有pnp情形(虽然这些例外情形出现的概率趋于0)。证明：6.2中心极限定理设X1,X2,…,Xn…是一系列随机变量，通常把论证和函数X1+X2+…+Xn的分布收敛于正态分布的这类定理叫做“中心极限定理”。定理2(莱维－林德伯格(Levy-Lindberg)定理)、(独立同分布的中心极限

4、定理)设X1,X2,…,Xn…是独立同分布的随机变量，它们有相同的均值E(Xi)=a，和相同的方差为D(Xi)=2(0<<+),则对任意实数x，有(证明略)说明：和函数Yn=X1+X2+…+XnE(Yn)=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)=naD(Yn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)=n2将Yn“标准化”：“标准化”后的和函数的分布函数Fn(x):和函数X1+X2+…+Xn在“标准化”后的分布函数Fn(x)，随着n的增大，Fn(x)逐渐趋向于标准正态分布函数。值得注意的是，每个Xi的概率分布可以是未知的，不一定是正态分布。定理2的意义：若有

5、无数多种因素X1,X2,…,Xn…对事物产生影响，每个因素的影响都很小，所有这些因素的综合影响可认为是Y=X1+X2+…+Xn+…,则这些因素综合影响的结果呈现出正态分布。所以，在自然界中很多问题都可用正态分布研究。定理2的等价形式1}{Xn}独立同分布，2)DXn<∞。则当n较大时，例6-1某保险公司对一种电视机进行保险，现有3000个用户，各购得此种电视机一台，在保险期内，这种电视机的损坏率为0.001，参加保险的客户每户交付保险费10元，电视机损坏时可向保险公司领取2000元，求保险公司在投保期内:(１)亏本的概率；(２)获利不少于10000元的概率。解(１

6、)亏本的概率：(２)获利不少于10000元的概率：定理3(棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre－Laplace)定理)设X1,X2,…,Xn…是独立同分布(0-1分布)的随机变量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p，(0＜p＜1)，i=1,2,…则对任意实数x，有证明由于E(Xi)=p,D(Xi)=p(1-p)i=1,2,….代入定理2的公式，a=p,=有定理3是定理2的特例，定理3用正态分布逼近两项分布。设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0＜p＜1),Yn～B(n,p)。设Xi是第i次试验时A出现的次数，则Xi服从

7、0-1分布，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,(0＜p＜1),i=1,2,…Yn=X1+X2+…+Xn,所以定理3的另一种描述方式：定理3的另一说法(棣莫弗-拉普拉斯定理)设Yn是n重伯努利试验中事件A出现的次数，在每次试验中P(A)=p是常数(0＜p＜1),Yn～B(n,p)，则对任意实数x，有这说明：若Yn服从二项分布B(n,p)，计算P(t1≤Yn≤t2)可用正态分布近似计算。(即Xn～B(n,p)，则当n较大时，)。若X1,X2,…,Xn…是独立的0-1分布的随机变量，P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,(0＜p＜1),i=1,2,…计算

8、P(t1≤