一道课本习题的多角度演变(1).doc

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1、一道课本习题的多角度演变江西省彭泽县杨梓中学程峰邮编332713江苏省赣榆县欢墩中学朱林邮编222133教材中许多例题，习题都具有典型性，示范性和探索性。所蕴含的内容也相当丰富，对他们不能简单的就题论题，而应进行适当的变化，引申和挖掘，揭示其有价值的新结论。这样做不仅能使学生产生触类旁通，举一反三的学习效果，而且能开阔学生的思维，发挥一题多用，一图多用。下面谈谈笔者对一道课本习题进行多角度的演变。题目：如图1，BE是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外交平分线。求证：∠E=∠A(课表北师大版八年级下册249页第12题)1.从数量关系上演变1．1、如图2所示，在△A

2、BC中，∠ACE是外角，∠DBE=∠ABC，∠DCE=∠ACE.求证：∠D=∠A。证明：∵∠DCE=∠DBE+∠D∴∠ACE=∠ABC+∠D∴(∠A+∠ABC)=∠ABC+∠D∴∠D=∠A.1．2、在图2中，若∠DBE=∠ABC，∠DCE=∠ACE.则∠D=∠A。1．3、如图3在△ABC中，∠ACE是外角，∠ABD=∠ABC,∠ACD=∠ACE，求证：∠D=∠A。证明：∵∠A+∠ABD=∠D+∠ACD，∴∠A+∠ABC=∠D+∠ACE,∴∠A+∠ABC=∠D+(∠A+∠ABC)，∴∠A—∠A=∠D，即∠D=∠A。1．4在图3中，若∠ABD=∠ABC，∠ACD=∠ACE

3、，则∠D=∠A1．5在图3中，若∠ABD=∠ABC，∠ACD=∠ACE，则∠D=∠A2．增加图1中∠E的个数2．1如图4，∠ABG，∠ACF是△ABC中的两个外角，∠ABC，∠ACF的角平分线，BD，CD交与点D，∠ACB，∠ABG的平分线CE，BE交与点E，则：∠D+∠E=∠A。2．2如图5，△ABC三内角平分线与三外角平分线分别交与D、E、F，求证：∠D+∠E+∠F=90简证：由图1结论知∠D=∠BAC，∠E=∠ABC，∠F=∠ACB,∴∠D+∠E+∠F=(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=180=902．3如图6.在△ABC，∠A=，∠ABC的平分线与∠ACD的平

4、分线交与点A，得∠A，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交与点A，得∠A，……，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交与点A,则∠A=____(2009年桂林市)利用图1的结论易得∠A=。在变式2中，若结合1.2、1.4、1.5的结论，则又可编出许多试题，如下几例：2．4如图7，在△ABC中，∠ACF，∠ABG是外角，∠ABC，∠ACF的平分线BD，CD相交于点D，∠ACB，∠ABG的一条三等分线CE，BE相交于点E，若∠A=60，则∠D+∠E=____（70或50）2．5如图8，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC，∠ACD的一条四等分线BE，CE相交于点E，∠E

5、BC，∠ECD的平分线BF，CF相交于点F，若∠A=60，则∠E+∠F=___(67.5或22.5)点评：只要给出三角形内，外角相等或不等的等分线，这些等分线的夹角位于三角形的同侧或两侧，则可演变出许多问题。3．把图1中的三角形变为n边行（n≥4）3．1如图9在四边形ABCD中，∠DCE是外角，∠ABC,∠DCE的平分线BF，CF相交于点F，试探究∠F与∠A+∠D的关系。解析：延长BA，CD交与点G，易知∠G=∠BAD+∠ADC—180，则∠F=∠G=（∠BAD+∠ADC—180）=(∠BAD—∠ADC)—903．2在图9中若BF，CF分别是∠ABC，∠DCE的一条三

6、等分线，则∠F=（∠BAD+∠ADC）—60或∠F=（∠BAD+∠ADC）—1203．3在图9中，若BF，CF分别是∠ABC，∠DCE的一条n等分线，则∠F=（∠BAD+∠ADC）—或∠F=（∠BAD+∠ADC）—3．4如图10，在五边形ABCDE中，∠EDF是外角，∠BCD，∠EDF的平分线CG，DG相交于点G，试探究∠G与∠A+B+∠E的关系。解析：延长CB，DE交于点H，则∠G=∠H=［180–（∠BCD+∠CDE）］=90–（∠BCD+∠CDE）=90–［540–（∠ABC+∠BAE+∠AED）］=(∠ABC+∠BAE+∠AED）–180。注：在图10中，若延

7、长CB，DE后不相交，则射线CG，DG也不会相交，但他们的反向延长线相交如图11，则仍有∠G=(∠A+∠B+∠E)–1803．5如图12，在n边行ABCD……N中，∠DCY是外角，BE，CE是∠ABC，∠DCY的平分线，则∠Z=(∠A+∠D+∠E+……+∠M+∠N)–（3–n）。（n≥3）4．在图1中增加新的线段4．1如图13，在△ABC中，∠ACE，∠CAF是外角。∠ABC，∠ACE的平分线BD，CD相交于点D，连接AD，求证：AD平分∠CAF。证明：过点D作DE⊥CE、DG⊥AC、DF⊥AF垂足分别为E、G、F。∵CD平分∠ACE，∴DG=DE，