一道课本习题的演变与拓展.pdf

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■j、——一————————————一一道课本习题的演变令。陈德前010I哐@(人教版《数学》教材九年级上册第25页第8题)如图1，利用一面墙(墙的长度不限)以及20m长的篱笆，怎样围成一个面积为50mz的矩形场地?本题的解法是：设与墙垂直的一边的边长为m，则与墙平行的一边的边长为(20—2x)1TI，根据题意得x(20—2x)=20，解得x1=5+、，2=5一。当Xl=5+时，20—2x=lO一2；当x2=5一时，20—2x：10+2。即可以围成边长为(5+)m和(10—2)m的矩形或边长为(5一)m和(10+2)m的矩形。图1将课本中的这道习题变换一下情境，即将“利用一面墙围成一个矩形场地”置换为“在校园里利用围墙的一段围成一个矩形花园”，将“墙的长度不限”改为“校园围墙最长可利用25m”，将“20m长的篱笆”置换为“50in长的墙的材料”，面积由“50nl”改为“300in”，即可得到下列中考题。 ∞(2012年湖南省湘潭市)如图2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌50Ill长的墙的图2材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m分析根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，设AB-xm，则8c=(5o一2x)111，再根据矩形面积公式列一元二次方程求解即可。解设AB=xm，则BC=(50—2x)m。根据题意可得，(50—2x)=300，解得：X1=10，2=15。当l=10，BC=50—2x=30>25(舍去)；当x2=15，BC=50—2x=20<25(符合要求)。故可围成AB长为15米、BC长为20米的矩形。对上述问题中长方形的个数、形状和可利用的墙长进行变换，可得到许多新问题：变式1某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m。如果围墙MN最长可利用oIn，围成长方形的长和宽各是多少?分析先用上述试题的解法求出AB和BC的长，再结合围墙MN最长可利用的长度。的变化来确定解的情况：当。≥30时，问题有两解；当20~a<30时，问题只有一解；当a<20时，问题无解。变式2如图3，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为m。(1)要使鸡场面积最大，鸡场长度应为多卜一——少?图3(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场长应为多少?比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论?分析(1)设鸡场的面积为m2则宽为}(50)m，利用矩形面积公 式构造二次函数，再用配方法求出鸡场的长度；(2)设鸡场的面积为Ym，则宽为(50)m，利用矩形面积公式构造二次函数，再用配方法求出n十Z二次函数取最大值时鸡场的长度；观察(1)、(2)可知，要使鸡场面积最大，它的长与n无关，总等于篱笆总长的一半。变式3如图4，有一面积为100m的半圆形鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长18m)，半圆弧用竹篱笆围成，问竹篱笆的长度是多少?分析设半圆的半径为r米，可以根据半圆的面积公式求出r，检验2r是否小于18，再求出半圆周长，即得竹篱笆的长度。图40∞0∞变式1设AB=xm，则BC=(50—2x)m。根据题意可得，x(50—2x)=300，解得：。=10，x2=15。当x=10，BC=30；当x=15，BC=20。所以，当a>~30时有两解，即可围成AB长为10米、BC为30米的矩形或AB长为15米、BC长为20米的矩形；当20~