劳斯霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要

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1、第四节劳斯-霍尔维茨稳定性判据稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。常用的稳定性分析方法有：1.劳斯－赫尔维茨（Routh－Hurwitz）判据这是一种代数判据方法。它是根据系统特

2、征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.2.根轨迹法这是一种图解求特征根的方法。它是根据系统开环传递函数以某一（或某些）参数为变量作出闭环系统的特征根在S平面的轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。3.奈魁斯特（Nyquist）判据这是一种在复变函数理论基础上建立起来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性，同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上是得到了比较广泛的应用。4.李雅普诺夫方法上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺夫方法不仅适用于线性系统，更

3、适用于非线性系统。该方法是根据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。一、稳定性的概念稳定性的概念可以通过图3-31所示的方法加以说明。考虑置于水平面上的圆锥体，其底部朝下时，若将它稍微倾斜，外作用力撤消后，经过若干次摆动，它仍会返回到原来状态。而当圆锥体尖部朝下放置时，由于只有一点能使圆锥体保持平衡，所以在受到任何极微小的扰动后，它就会倾倒，如果没有外力作用，就再也不能回到原来的状态了。(a)稳定的(b)不稳定的图3-31圆锥体的稳定性根据上述讨论，可以将系统的稳定性定义为，系统在受到外作用力后，偏离了正常工作

4、点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的。瞬态响应项不外乎表现为衰减、临界和发散这三种情况之一，它是决定系统稳定性的关键。由于输入量只影响到稳态响应项，并且两者具有相同的特性，即如果输入量r(t)是有界的：

5、r(t)

6、<∞，t≥0则稳态响应项也必定是有界的。这说明对于系统稳定性的讨论可以归结为，系统在任何一个有界输入的作用下，其输出是否有界的问题。一个稳定的系统定义为，在有界输入的作用下，其输出响应也是有界的。这叫做有界输入有界输出稳定，又简称为BIBO稳定。线性闭环系统的稳定性可以根据

7、闭环极点在S平面内的位置予以确定。假如单输入单输出线性系统由下述的微分方程式来描述，即(3.58)则系统的稳定性由上式左端决定，或者说系统稳定性可按齐次微分方程式(3.59)来分析。这时，在任何初始条件下，若满足(3.60)则称系统(3.58)是稳定的。为了决定系统的稳定性，可求出式(3.59)的解。由数学分析知道，式(3.59)的特征方程式为(3.61)设上式有k个实根-pi（i=1，2，…，k），r对共轭复数根(-si±jwi)(i=1，2，…，r)，k+2r=n，则齐次方程式(3.59)解的一般式为(3.62

8、)式中系数Ai，Bi和Ci由初始条件决定。从式(3.62)可知：(1)若-pi<0，-si<0（即极点都具有负实部），则式(3.60)成立，系统最终能恢复至平衡状态，所以系统是稳定的。(3)若-pi或-si中有一个或一个以上是正数，则式(3.60)不满足。当t→∞时，c(t)将发散，系统是不稳定的。(4)只要-pi中有一个为零，或-si中有一个为零（即有一对虚根），则式(3.60)不满足。当t→∞时，系统输出或者为一常值，或者为等幅振荡，不能恢复原平衡状态，这时系统处于稳定的临界状态。总结上述，可以得出如下结论

9、：线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根均为负实数，或具有负的实数部分。由于系统特征方程式的根在根平面上是一个点，所以上述结论又可以这样说：线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根，均在根平面的左半部分（见图3-32）。图3-32根平面表3.4列举了几个简单系统稳定性的例子。需要指出的是，对于线性定常系统，由于系统特征方程根是由特征方程的结构（即方程的阶数）和系数决定的，因此系统的稳定性与输入信号和初始条件无关，仅由系统的结构和参数决定。如果系统中每个部分都可用线性常系数微分方程描述，那么，当系统是稳定时，

10、它在大偏差情况下也是稳定的。如果系统中有的元件或装置是非线性的，但经线性化处理后可用线性化方程来描述，则当系统是稳定时，我们只能说这个系统在小偏差情况下是稳定的，而在大偏差时不能保证系统仍是稳定的。以上提出的判断系统稳定性的条件是根据系统特征方程根，假如特征方程根能求得，系统稳定性自然就可断定。但是，要解四次或更高次的特征方程式，是相当麻烦的，往往需要求助