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时间：2018-12-01
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1、反矩陣與行列式東海大學物理系‧數值分析DefinitionI:單位矩陣，Iij=dij對一n×n矩陣A，若存在另一n×n矩陣B使得AB=I，則稱A為可逆（invertible）或非奇異（nonsingular）矩陣，B則可寫為A-1若A-1不存在，則稱A為不可逆（noninvertible）或奇異（singular）矩陣利用高斯消去法求矩陣若已知矩陣A之元素為aijfor1≦i,j≦n，欲求A-1之元素bijfor1≦i,j≦n，根據定義：利用高斯消去法求矩陣根據矩陣乘法的定義，我們可以將這個矩陣方程式拆成n個n變數聯立方程式aij為已知，是方程式的係數，bij則是未知數，分別以高斯消去法解出
2、這n組方程式，即可求出全部的bij利用高斯消去法求矩陣我們也可以將全部的方程式合併，寫成一個n×2n的增廣矩陣：之後再使用高斯消去法，將前半部變成單位矩陣，後半部即是反矩陣的解行列式（Determinant）行列式的定義：以高斯消去法求行列式值根據行列式以上的特性，我們可以用高斯消去法將原矩陣變為上三角或下三角矩陣，再將對角線元素相乘即可得行列式值，例如：可得行列式值為2×(1/2)×3×13=39上下三角矩陣分解在高斯消去法的過程中，我們可以將原始矩陣A分解為兩個矩陣相乘A=LU，其中L為上三角矩陣、U為下三角矩陣上下三角矩陣分解使用時機：當程式需要解許多次與A有關的線性系統時，先將A做上下
3、三角分解，可得到較高的計算效率L即為高斯消去所得之上三角矩陣，U的對角線元素皆為一，其他非零元素則為消去過程中之mki=aki/aii，如下例所示：AUL
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