小波变换原理与应用

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1、1小波变换原理及其应用案例介绍WaveletTransformTheoryandApplicationsIntroduction数学中的显微镜——小波饶利强电机与电器2主要内容1.小波的发展历史2.小波变换与傅里叶变换的比较3.小波变换的基本原理与性质4.几种常用的小波简介5.小波变换的应用领域6.小波分析应用前景7.小波变换的去噪应用8.小波分析面临的主要问题31.小波的发展历史——工程到数学小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到

2、数学家的认可。幸运的是，1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同一方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来。小波变换是近十几年新发展起来的一种数学工具,是继一百多年前的傅里叶(Fourier)分析之后的又一个重大突破,它对无论是古老的自然学科还是新兴的高新应用技术学科均产生了强烈的冲击。41.小波的发展历史——工程到数学1909:AlfredHaar——发现了Haar小波1980：Morlet——Morlet小波，并分别与20世纪70年代提出了小波变换的概念，20世纪80年

3、代开发出了连续小波变换CWT（continuouswavelettransform）1986：Y.Meyer——提出了第一个正交小波Meyer小波1988：StephaneMallat——Mallat快速算法（塔式分解和重构算法）51.小波的发展历史——工程到数学1988：InridDaubechies作为小波的创始人，揭示了小波变换和滤波器组(filterbanks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。RonaldCoifman和VictorWickerhauser等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献在信号处理领域

4、中，自从InridDaubechies完善了小波变换的数学理论和StephaneMallat构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等。62.小波变换与傅里叶变换的比较小波分析是在傅里叶分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅里叶分析存在着极大的不同，与Fourier变换相比，小波变换是空间（时间）和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了

5、应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。72.小波变换与傅里叶变换的比较傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑，从1807年开始，直到1966年整整用了一个半世纪多才发展成熟，她在各个领域产生了深刻的影响得到了广泛的应用，推动了人类文明的发展。其原因是傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值，更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。遗憾的是，这种理论具有一定的局限性。用傅立叶变换提取信号的频谱需要利用信号的全部时域信息。傅立叶变换没有反映出随着时间的变化信号频率成分的变化情况。傅立叶

6、变换的积分作用平滑了非平稳信号的突变成分。由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就导致了小波分析。82.小波变换与傅里叶变换的比较（1）克服第一个不足：小波系数不仅像傅立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同一个频率指标j，在不同时刻k，小波系数也是不同的。（2）克服第二个不足：由于小波函数具有紧支撑的性质即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时，只用到该时刻附近的局部信息。从而克服了上面所述的第二个不足。（3）克服第三个不足：通过与加窗傅立叶变换的“时间—频率窗”的相似分析，可得到小波变换的“时间—频率窗”的笛卡儿

7、积。小波变换的“时间--频率窗”的宽度，检测高频信号时变窄，检测低频信号时变宽。这正是时间--频率分析所希望的。根据小波变换的“时间—频率窗”的宽度可变的特点，为了克服上面所述的第三个不足，只要不同时检测高频与低频信息，问题就迎刃而解了。93.小波变换的基本原理与性质小波是什么？小波可以简单的描述为一种函数，这种函数在有限时间范围内变化，并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅；B、在有限时间范围内平均值为0。103.小波变换的基本原理与性质小波的“容许”条件用一种数学的语言来定义小波，即满足

8、“容许”条件的一种函数，“容许”条件非常重要，它限定了小波变换的可逆性。小波本身是紧支撑的，即只有小的局部非零定义域，在窗口之外函数为零