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时间:2018-12-02
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1、【同步教育信息】一.本周教学内容: 寒假专题——圆及其相关问题 教学目的: 通过对圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系等问题的探讨,进一步深化对圆的认识,熟练圆的有关知识的应用。 二.重点、难点 圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系等问题。 知识分析: 1.圆的标准方程 ,圆心(a,b),半径为r。 ,圆心(0,0),半径为r。 2.圆的一般方程 (1)圆的一般方程的形式: 当且仅当时,方程才表示一个圆,它的圆心坐标是(),半径 (2)圆的一般方程的特点:“”是“方程表示圆”的必要而非充分条件
2、。 (3)几种特殊的圆 ①圆心在y轴上; ②圆心在x轴上; ③圆心在原点; ④圆过原点; ⑤圆过原点且与x轴相切; ⑥圆过原点且与y轴相切; ⑦圆与x轴相切; ⑧圆与y轴相切。 3.求圆的方程的方法 (1)几何法,即通过研究圆的性质,直线和圆、圆和圆的位置关系,进而求得圆的基本量(圆心、半径)和方程。 (2)代数法,即用“待定系数法”求圆的方程,其一般步骤是:①根据题意选择方程的形式–––标准形式或一般形式;②利用条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方
3、程或一般方程。 4.判断点与圆的位置关系 将所给点M与圆心C的距离跟半径r作比较: 若,则点M在圆C上; 若,则点M在圆C外; 若,则点M在圆C内。 也可利用圆的标准方程来判定: 点M(m,n)在圆C上; 点M(m,n)在圆C外; 点M(m,n)在圆C内。 5.判断直线与圆的位置关系 将圆心C到所给直线l的距离d跟半径r相比较: 直线l与圆C相切 直线l与圆C相离 直线l与圆C相交 也可考查直线与圆的交点的个数。只需将直线方程代入圆的标准方程,得到关于x与y的一元二次方程,再考查它的根的判
4、别式。设其判别式为△,则直线l与圆C相切;直线l与圆C相离;直线l与圆C相交。 其中后一种方法对判断直线与其他圆锥曲线的位置关系仍然有效。 6.圆的切线方程与弦长 (1)圆的切线方程 过圆上一点M()的切线方程是。 过圆上一点M()的切线方程是 过圆外一点M()的切线有两条。若切线不垂直于x轴,可设其斜率为k,写出切线的点斜式方程,再根据直线与圆相切的条件列出方程,解出k;若切线垂直于x轴,不要漏掉方程。 (2)弦长 处理圆中有关弦长的问题,常用由弦心距、弦长的一半及相应的半径构成的直角三角形来解(图1) 7.判
5、断圆与圆的位置关系 已知两圆半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆相交。 两圆外切; 两圆内切; 两圆相离; 两圆内含。 【典型例题】例1.已知△ABC顶点的坐标为A(4,3),B(5,2),C(1,0)。求△ABC外接圆的方程。解析:设所求圆的方程为:例1. 因为点A、B、C在所求的圆上,故有:解得: 故所求的圆的方程是: 点评:当已知圆上三点求圆的方程时,可用圆的一般方程,也可结合平面几何知识求出圆心、半径。应注意所给点的特殊性质,运用平面几何知识往往可以将问题简化。直线AC:x-y-1=0,AC中点为
6、(5/2,3/2)所以线段AC的中垂线为:x+y-4=0直线BC:x-2y-1=0,BC中点为(3,1)所以线段BC的中垂线为:2x+y-7=0线段AC的中垂线与线段BC的中垂线的交点即为圆心,解得圆心为(3,1)圆心到ABC任意一点的距离即为半径,解得半径r=所以三角形ABC外接圆的方程为:(x-3)2+(y-1)2=5 例2.求与x轴相切,圆心在直线3x-y=0上且被直线x-y=0截得弦长为的圆的方程。 解析:由题意设圆心c(a,3a),则 点C到直线的距离 ,即 圆心为(1,3)或(-1,-3),半径 所求圆的方程
7、为:或 点评:求圆的方程,最重要的是确定几个关键量(如圆心、半径等)。 例3.设A(,0),B(c,0)(c>0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹。 解析:设动点P的坐标为P(x,y) 由,得 化简得 当时,得 整理,得 当时,化简得 所以当时,P点的轨迹是以(,0)为圆心,为半径的圆;当时,P点的轨迹是y轴。 点评:本题采用了求曲线方程的一般步骤:(1)建系、设标;(2)列关系;(3)写方程;(4)整理、化简;(5)说明。在求解过程中应注意讨论的值,最后的
8、说明中要把所求轨迹的具体特征描述出来。 例4.如果实数满足,求: (1)的最大值; (2)的最小值; 解析:表示以(2,0)为圆心,半径为的圆,为点M与原点连线的斜
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