圆的有关识的应用.doc

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1、【同步教育信息】一.本周教学内容：   寒假专题——圆及其相关问题    教学目的：   通过对圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系等问题的探讨，进一步深化对圆的认识，熟练圆的有关知识的应用。 二.重点、难点   圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系等问题。    知识分析： 1.圆的标准方程   ，圆心（a，b），半径为r。   ，圆心（0，0），半径为r。 2.圆的一般方程   （1）圆的一般方程的形式：   当且仅当时，方程才表示一个圆，它的圆心坐标是（），半径   （2）圆的一般方程的特点：“”是“方程表示圆”的必要而非充分条件。   （3）几种特殊的圆   ①圆心在y轴上

2、；   ②圆心在x轴上；   ③圆心在原点；   ④圆过原点；   ⑤圆过原点且与x轴相切；   ⑥圆过原点且与y轴相切；   ⑦圆与x轴相切；   ⑧圆与y轴相切。 3.求圆的方程的方法   （1）几何法，即通过研究圆的性质，直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量（圆心、半径）和方程。   （2）代数法，即用“待定系数法”求圆的方程，其一般步骤是：①根据题意选择方程的形式–––标准形式或一般形式；②利用条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程。 4.判断点与圆的位置关系   将所给点M与圆心C的距离跟半径r作比较：   

3、若，则点M在圆C上；   若，则点M在圆C外；   若，则点M在圆C内。   也可利用圆的标准方程来判定：   点M（m，n）在圆C上；   点M（m，n）在圆C外；   点M（m，n）在圆C内。 5.判断直线与圆的位置关系   将圆心C到所给直线l的距离d跟半径r相比较：   直线l与圆C相切   直线l与圆C相离   直线l与圆C相交   也可考查直线与圆的交点的个数。只需将直线方程代入圆的标准方程，得到关于x与y的一元二次方程，再考查它的根的判别式。设其判别式为△，则直线l与圆C相切；直线l与圆C相离；直线l与圆C相交。   其中后一种方法对判断直线与其他圆锥曲线的位置关系仍然有

4、效。 6.圆的切线方程与弦长   （1）圆的切线方程   过圆上一点M（）的切线方程是。   过圆上一点M（）的切线方程是   过圆外一点M（）的切线有两条。若切线不垂直于x轴，可设其斜率为k，写出切线的点斜式方程，再根据直线与圆相切的条件列出方程，解出k；若切线垂直于x轴，不要漏掉方程。   （2）弦长   处理圆中有关弦长的问题，常用由弦心距、弦长的一半及相应的半径构成的直角三角形来解（图1） 7.判断圆与圆的位置关系   已知两圆半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆相交。   两圆外切；   两圆内切；   两圆相离；   两圆内含。 【典型例题】例1.已知△ABC顶点的坐标

5、为A（4，3），B（5，2），C（1，0）。求△ABC外接圆的方程。解析：设所求圆的方程为：例1.   因为点A、B、C在所求的圆上，故有：解得：   故所求的圆的方程是：   点评：当已知圆上三点求圆的方程时，可用圆的一般方程，也可结合平面几何知识求出圆心、半径。应注意所给点的特殊性质，运用平面几何知识往往可以将问题简化。直线AC：x-y-1=0，AC中点为（5/2,3/2）所以线段AC的中垂线为：x+y-4=0直线BC：x-2y-1=0，BC中点为（3,1）所以线段BC的中垂线为：2x+y-7=0线段AC的中垂线与线段BC的中垂线的交点即为圆心,解得圆心为(3,1)圆心到ABC任意

6、一点的距离即为半径,解得半径r=所以三角形ABC外接圆的方程为：(x-3)2+(y-1)2=5 例2.求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上且被直线x－y＝0截得弦长为的圆的方程。   解析：由题意设圆心c（a，3a），则   点C到直线的距离   ，即   圆心为（1，3）或（－1，－3），半径   所求圆的方程为：或   点评：求圆的方程，最重要的是确定几个关键量（如圆心、半径等）。  例3.设A（，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹。   解析：设动点P的坐标为P（x，y）   由，得   化简得   当时，

7、得   整理，得   当时，化简得   所以当时，P点的轨迹是以（，0）为圆心，为半径的圆；当时，P点的轨迹是y轴。   点评：本题采用了求曲线方程的一般步骤：（1）建系、设标；（2）列关系；（3）写方程；（4）整理、化简；（5）说明。在求解过程中应注意讨论的值，最后的说明中要把所求轨迹的具体特征描述出来。  例4.如果实数满足，求：   （1）的最大值；   （2）的最小值；   解析：表示以（2，0）为圆心，半径为的圆，为点M与原点连线的斜