由一道变式得到的多题.doc

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1、由一道变式得到的多题波利亚指出：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引人一个完整的领域．”在学生原有知识基础和解题方法上的变通，可以让他们在变中总结此类的规律，在变化中学会灵活应用，开阔四位。一、经典题目，多年不变题目（出现在各种课本或同步练习）如图1,B,C,D三点在同一直线上，∠ACB=∠ECD＝60°，AC＝BC,EC＝DC，连接BE,AD，分别交AC,CE于点M,N.(1)试说明△ACD≌△BCE的理由；(2)试说明CM=CA的理由．二、结论开放，条件不变例1，（黑龙江·绥化卷）如图2，已知△ABC和△DCE是等

2、边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与BD交于G，AC与BD交于点F，连接OC、FC,则下列结论：①AE=BD;②AG=BF;③FG//BE;④∠BOC=∠EOC.其中正确结论的个数为()．(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个三、新的条件，百花争艳1.定点变动点，以静制动例2（山东·东营卷）如图3，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的2个等边三角形，图3DM,EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（点C与点A,B不重合），连接DE,得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（）．(A）逐渐

3、增大（B）逐渐减小(C)始终不变（D）先增大后变小2．直线段变折线段，方法更简单(1)原题中当点C不在线段BD上，以BC为一直角边做直角三角形时，分别以其中两边为边向外作等边三角形，则演变为下面的中考试题．例3（广东·中山卷）如图4,别以Rt△ACB的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE已知∠BAC=30°,EF⊥AB，垂足为点F，连接DF.图4（1）试说明AC＝EF;(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．例4（重庆·茶江卷）如图5，在平行四边形ABCD中，分别以AB,AD为边向外作等边△ABE、等边△ADF,延长CB交AE于点G（点G在点A,E之间），连接CE,C

4、F,EF,则以下4个结论一定正确的是（）．图5①ACDF≌DEBC;②∠CDF=∠EAF;③ACEF是等边三角形；④CG⊥AE.(A）只有①②(B）只有①②③(C）只有③④(D)①②③④3．由等边变等腰，类比变换最重要(1)等边三角形是特殊的等腰三角形．因此，可以进行类比联想，若将原题中的等边三角形改为等腰三角形，命题的结论、推理方法是否会有惊人的相似？例5（浙江·嘉兴卷）如图6，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC,BC为斜边，并且在AB的同一侧作等腰Rt△CDA和等腰Rt△BEC，连接AE交CD于点M,连接BD交CE于点N，给出以下3个结论：①MN//AB;②②；

5、③MNAB.其中正确结论的个数是（）．(A)0个（B)1个（C)2个（D)3个(2)等边三角形是最简单的正多边形．若将原题中的“等边三角形”替换成“正方形”、“正五边形”，能否将原来的性质进行拓展、推广呢？例6（山西卷）如图7(1)，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE,GC.（1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论（2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图9(2)，连接AE和CG．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立．试说明理由．图74．错位变换，意义深远若把原图形中的某一部分进行适当变换（平

6、移、旋转、相似等），使图形位置发生变化，创设一个题设变化、图形变化的问题情境，那么问题对结论的影响又会如何呢？例7（辽宁·丹东卷）如图9，已知在等边△ABC中，D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．(1)如图9(1)，当点M在点B左侧时，试判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？直接写出结论，不必证明或说明理由；(2）如图11(2)，当点M在BC上时，其他条件不变，(1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，试利用图9(2)证明；若不成立，试说明理由；(3)若点M在点

7、C右侧时，试在图11(3)中画出相应的图形，并判断（1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，试直接写出结论，不必证明或说明理由．图9四、千变万变，不离其宗我们再对原题的图形进行一些位置变换，再次领略一题多变，一题多解的风采变式l：如图13，A为线段BC上一点，△ABD和△ACE是等腰三角形，且AB、AD与AC、AE分别是两等腰三角形的腰，且△ABD～△ACE.求证：CD=BE.图11图12变式2：如图14，在△ABC中，分别以AB、AC、BC