3工程试验设计讲稿(第三章方差分析)ok

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1、第三章方差分析方差分析(analysisofvariance,ANOVA)由英国统计学家R.A.Fisher首先提出，以F命名其统计量，故方差分析又称F检验。方差分析用于两个及两个以上样本均数差别的显著性检验，即用于检验试验过程中各因素对试验指标影响的显著性。第一节单因素试验的方差分析一基本原理单因素试验方差分析又称一元方差分析，用于讨论一种因素对试验指标有无显著性影响。假设：因素A有r中水平A,、A2Ar,每种水平对应的试验指标服•;户1，2从正态分布。如果在各水平下分别做了〃G=l,2,...，/•）次试

2、验，如表3-1所示。通过方差分析可判断因素A对试验指标是否有显著影响。表3-1单因素试验数据表试验次数A!a2A/A,1•VnX2iX"•rrl2X]2♦X22♦Xi2♦Xr2j••Ilj•••x2j參•••Vij參♦Xrj•ni••^lnl•^2n2••^ini♦义rnr表3-1中的任一数据都可表示为&"/)，其中/表示因素a的第/个水平，j•表示/水平上的第y次试验。例如，x12表示第1水平的第2次试验对应的指标。二方差分析步骤1计算平均值及和1.1组内平均值及组内和将一个水平看做一组，令5为第Z水平上所

3、有试验指标的算术平均值，称为组内平均值，即—1屮X*—〉:又"，（/=1，2，•..，厂）则，组内和为ni一Ti=hj=n，xi7=11.2总平均值及总和兑平均值S为所有试验指标的算术平均值，即Sv1ririr1-1fl1-11-1flf-12计算离差平方和单因素试验中，各试验指标之间存在差异，其可用离差平方和来表示。2.1总离差平方和总离差平方和用SSt(sumofsquaresfortotal)表示，即SST-~x)2/=iy=i它表示各试验指标与总平均值的偏差的平方和，反映试验指标之间存在的总差异。2.

4、2组间离差平方和组间离差平方和用(sumofsquaresforfactorA)表示，即SSA=i,i(>2=in^xi~x>)2i=l7=1/=!它反映了各组内平均值三之间的差异程度，这种差异是由因素A的不同水平的不同作用造成的。2.3组内离差平方和组内离差平方和用ySe(sumofsquaresforerror)表示，即SSe=~Xi)2/=l7=1它反映了在某水平内，各试验指标之间的差异程度。这种差异是由于随机误差的作用产生的，所以其又称为误差项离差平方和。经证明，以上离差平方和之间存在关系

5、，即SST=SSA+SSe它说明试验指标之间的总差异来源于两个方面，一是由于因素取不同水平造成的差异，一是由于随机误差造成的差异。3计算自由度(degreeoffreedom)由离差平方和的计算公式可知，在和同的误差条件下，试验数据越多，离差平方和就越大，因此仅用离差平方和反映试验指标之间的差异还是不够的，还应考虑数据的多少对离差平方和的影响。为此，引入自由度概念。3.1自由度定义统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能自由变化的资料的个数，称为该统计量的自由度。例如，在估计总体

6、的平均数时，其中任何一个数据都和其他数据相互独立，从其中抽出任何一个数都不影响其他资料。因此一组资料中每一个资料都是独立的，所以自由度就是估计总体参数时独立资料的数目，而平均数是根据《个独立资料来估计的，因此自由度为《。但是，如果样本的平均数己知，则只有(。-1)个数据是独立的，所以此时样本的自由度为3.2自由度计算总自由度：dfT=zi-l组间自由度：组内自由度：dfe=n-r显然，自由度之间存在如下关系dfT=dfA^dfe4计算均方均方，即平均平方(meansquares),是离差平方和与对应自由度的比

7、值。组间均方(水平间均方)A/Sa(meansquaresbetweengroups)的计算公式为MSA=SSA/dfA组内均方(或误差均方)(meansquareswithingroups)的计算公式MSe=SSe/dfe5F检验统计量厂是组间均方与组内均方的比值，它服从自由度为（J/A,J/e）的F分布（Fdistribution）0B

8、JFaMS,MSe检验时，对于给定的显著性水平a，从附表2屮查得其临界值、（6/人，4^）,然后进行比较：如果FA〉Fa（#A，#e），说明因素A对试验指标的影响显著；如

9、果FAF0.0l（dfA，dJe），说明因素A对试验指标的影响