方差分析教材ok.doc

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1、圣博方差分析一、单因子方差分析：三个工厂生产同一种零件，为了了解不同工厂的零件的强度有无明显的差异，现分别从每一个工厂随机抽取四个零件测定其强度，数据如表所示，试问三个工厂的零件强度是否相同？工厂零件强度甲10310198110乙113107108116丙82928486首先我们来熟悉一下概念：1）因子：对指标有影响的因素称为因子，因子通常用大写字母A、B、C等表示。在上例中，工厂别是因子。2）水平：在试验中因子所处的状态称为因子水平，（即因子的属性有多少个即称多少水平）用因子的字母加标来表示，譬如因子A的水平用A1、A2、A3……来表示。上例有三个工厂分别为：甲

2、、乙、丙，我们分别用A1、A2、A3来表示。3）试验条件：在一次试验中每一个因子总取一个特定的水平，若干个因子各取一个特定的水平的组合，称其为一个试验条件。上例中只有一个水平，所以，一个水平便是一个试验条件。4）指标：衡量试验条件好坏的量称为指标，用y来表示，它是一个随机变量。在例中零件强度就是试验指标。工厂零件强度yij（i为不同水平:厂，j为同一水平内数排列）(同水平)和均值甲A1103y11101y1298y13110y14412T11031乙A2113y21107y22108y23116y24444T21112丙A382y3192y3284y3386y34

3、344T3863总平均值＝1001、平方和分解：1）总的偏差平方和用ST（otal）来表示：为总平均值ST＝即所有的值同总平均值差的平方和。总数据为n个（n＝r×m），故自由度fT＝n-12、组间偏差平方和，也称为因子A的偏差平方和，用SA来表示：SA＝＝m[(103-100)2+(111-100)2+(86-100)2]，自由度fA＝r-1圣博3、组内偏差平方和即随机偏差：Se（ST＝SA＋Se，所以只需计算两个即可。）Se＝每组内数同组内平均值的平方和，然后三组的平方和相加。自由度fe＝r（m-1）4、因子或误差的均方和：MSA＝SA/fA，MSe＝Se/fe

4、5、F比与拒绝域：F＝MSA/Se/fe，当H0成立时，统计量F的分布为自由度是fA、fe的分布。当F＞F1－α（fA，fe）时，认为因子A是显著的，即诸均值不全相等；当F≤F1－α（fA，fe）时，认为因子A不显著。上述例子得出的结果：当α＝0.05时，F＝31.21，F0.95（2，9）＝4.26，由于F＞4.26，所以在α＝0.05水平上我们的结论是因子厂家是显著的。结论：因为因子A显著，这就表明不同的工厂生产的零件强度有明显的差异。·备注：如果每个水平下的试验次数不同时，即mi不同时，步骤仍然相同，只是在计算中有两个改动：n＝；SA＝其他一样。二、双因子方

5、差分析：如果在一个试验中需要同时考察两个因子A与B，并设因子A有r个水平，因子B有s个水平，这时共有n＝rs个不同的试验条件，也就是说有n总体。为了减少某种钢材淬火后的弯曲变形，对四种不同的材质（B1～B4）分别进行五种不同的淬火温度（800～880记为A1～A5）进行试验，测得淬火后样品的眼神率数据如下：AiBjB1B2B3B4行和Ti平均A1:8004.4y115.2y124.3y134.9y1418.84.700A2:8205.3y215.0y225.1y234.7y2420.15.025A3:8405.8y315.5y324.8y334.9y3420.05

6、.250A4:8606.6y416.9y426.6y437.3y4427.46.850A5:8808.4y518.3y528.5y537.9y5433.18.275列和T.j30.5T.130.9T.229.3T.329.7T.4总和T：120.4平均6.106.185.865.94：6.020这里r＝4，s＝5，n＝rs＝20现在做这样的假设：每一个总体的分布是正态分布，其均值为，它与因子A及B的水平有关，方差相同，数据相互间是独立的。·无交互作用·有正向交互作用·有反向交互作用A1A2A1A2A1A2B1B2B1B2B1B21、·交互作用：·无交互作用：无论B

7、因子取何种水平，因子A两个水平时所得到的指标均值关系都是一样。即可称A、B因子间无交互作用。·正向交互作用：A因子的两个水平总是总是呈现相同的趋势，但是在另一个因子B的影响下，趋向更大。圣博·反向交互作用：如上图2、无交互作用时的两因子方差分析：ST=SA+SB+Se，fT=fA+fB＋fe；ST＝，fT=rs-1；SA＝，fA＝r-1；SB＝，fB＝s-1；Se＝，fe＝fT－fA－fB利用上述例子得到如下数据表格：来源偏差平方和自由度均方和F比因子A36.397SA4fA9.0992MSA66.76因子B0.32030.10670.78误差e13635120.

8、1363总