向量组与方程组.doc

《向量组与方程组.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、2014级数学辅导学案（七）：线性方程组与向量组2015.1.8一、知识梳理：（一）线性方程组的解1.利用矩阵的秩判断线性方程组解的情况：对于含有n个未知数的m个线性方程的方程组，有无解；有唯一解；有无穷限多解.2.线性方程组解的结构（1）齐次方程组解向量的性质：对于，若是方程组的解，则也是方程组的解；若是方程组的解，则也是方程组的解；（2）非齐次方程组与对应齐次方程组解的关系：若为的一个解，的通解为，则的通解为.（二）向量组1.向量组的线性表示与线性相关性特性对象定义等价命题判定（充要条件）线

2、性表示向量与向量组若，使，则b能由A：线性表示.方程组有解向量组与向量组若向量组B中每个向量都能由向量组A线性表示，则B能由A线性表示.矩阵方程有解（必要条件：）等价向量组与向量组若向量组A和B能互相线性表示，则A和B等价.矩阵或线性相关向量组自身若不全为零，使，则A：线性相关.反之，则线性无关.方程组有非零解2.向量组的秩与向量空间的基（1）向量组的秩：设是A的一个部分组，若满足：线性无关；A中任意r+1个向量都线性相关（或A中任一向量都能由线性表示），则叫A的一个最大无关组，r叫A的秩，记作

3、或.（2）向量空间的基：设V为向量空间，，若满足：线性无关；V中任一向量都能由线性表示，则叫V的一个基，r叫V的维数，V叫r维向量空间.二、典例解析：例1解方程组：.[变式1]解方程组：.[变式2]判断解的情况.例2，求证：向量b能由向量组线性表示，并求出表达式.[变式1]；，，求证：A组与B组等价.[变式2]，判断向量组的线性相关性.例3设线性无关，则下列向量组线性无关的是（）.（A）（B）（C）（D）[变式1]设I：，II：，III：，且，，，求证：线性无关.[变式2]已知，求证：（1）能由

4、线性表示；（2）不能由线性表示.[变式3]已知向量组线性无关，，，，求证：线性无关.例4，求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示.[变式]验证为的一个基，并求在这个基中的坐标.