角平分线的性质定理和逆定理

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1、WORD格式.可编辑角平分线的性质定理及其逆定理一、基础概念学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范证明步骤。（1）角平分线的性质定理证明：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论：推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）推导过程：已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．求证：PA＝PB．证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON

2、∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO和△PBO中，∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB．技术资料.整理分享WORD格式.可编辑（2）角平分线性质定理的逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。推导过程已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．证明：连结OP在Rt△PAO和Rt△P

3、BO中，∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（3）角平分线性质及判定的应用①为推导线段相等、角相等提供依据和思路；②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．（4）角平分线的尺规作图活动三：观察与思考：尺规作角的平分线观

4、察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图)，思考这种作法的依据。步骤一：以点O技术资料.整理分享WORD格式.可编辑为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点。由作图可知：OA=OB步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C。由作图可知：AC=BC步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。由作图可知：定理，可得≌同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性。二、【典型例题】例1.已知：如图所示，∠C＝∠C′＝9

5、0°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？技术资料.整理分享WORD格式.可编辑例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的

6、P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．例5.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．练习一一、填空题：1.如图1-31，△ABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分∠ABC交AD于E,EF⊥AB,则AB=，BF=；2.已知：如图1-32，在Rt△ABC中，∠C=90°

7、,AC=BC,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E，若BC=5,则△DEC的周长为.二、选择题：1.如图1-33，△ABC中，∠B=42°,AD⊥BC于D，E是BD上一点，EF⊥AB于F，若ED=EF,则∠AEC的度数为（）；A.60°B.62°C.64°D.66°2.给出下列命题：①垂直于同一条直线的两直线平行；②角平分线上的点到角两边的距离相等；③三角形的三条角平分线相交于一点；④全等三角形的面积相等；其中原命题和逆命题都是真命题的共有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个三、解答题：技术资料.整理分享

8、WORD格式.可编辑如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF.求证：BF是∠ABC的平分线.【综合练习】已知：如图1-35，△ABC中，AB=2AC,AD平分∠BAC，且AD=BD.求证：DC⊥AC.例题答案例1.已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；