文科经管类微积分第八章

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1、高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第四十九讲常数项级数的概念脚本编写：教案制作：n个0n个9通俗地说：无限多个数的和可以是一个有限的数.引例1:《庄子·天下篇》：“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.引例2把每日所取排列起来：棰取走的部分总共长：此是公比为的等比数列，—(常数项)无穷级数一般项部分和数列级数的部分和常数项级数的定义u1,u2,u3,,un,,下列各式均为常数项级数例1级数举例调和级数几何级数级数的展开形式备注一般项简写形

2、式等比级数aqn-1p—级数下页级数敛散性定义(包括极限为),余项rnssnun1un2下页例2.证明级数123n是发散的.此级数的部分和为证:下页故级数发散.例1讨论级数的敛散性.解:因则解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)的收敛性.当公比

3、q

4、<1时,等比级数收敛；当公比

5、q

6、>1时,等比级数发散.发散发散综上所述,例1讨论等比级数(几何级数)的收敛性.当公比

7、q

8、<1时,等比级数收敛；当公比

9、q

10、1时,等比级数发散.例7收敛吗?解:因为收敛.例8讨论的收敛性.解:因收敛,即是一个有限的数,而从1加到也是个有限的

11、数,因此级数收敛.例2.判别级数的敛散性:解:利用“拆项”求和所以级数发散.解:例2讨论无穷级数的收敛性.二、收敛级数的基本性质sn、sn、tn,则结论:两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质2设有两个收敛级数则级数也收敛,且有注:证(2):矛盾.假设收敛,二、收敛级数的基本性质性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.性质1性质2下页二、收敛级数的基本性质推论如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.性质1性质2性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的

12、收敛性.下页收敛,则也收敛.加括号仍为收敛级数.注收敛级数是收敛的.注“加括号后所成的级数收敛,原级数不一定收敛.”例如级数是发散级数.但将相邻的两项加括号后所得级数收敛,则也收敛.例7性质2收敛吗?解:因为和均收敛,根据性质2,级数收敛.级数收敛的必要条件下页若级数收敛,则必有定理n个0级数收敛的必要条件证:注意:(1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件,不能因为一般项趋于零就断定级数收敛.(2)如果一般项不趋于零,则级数必发散.因此此性质常用于判断级数发散.下页若级数收敛,则必有定理由于故该级数发散.解:例5级数收敛的必要条件:若级数收敛,则必有是必要

13、不充分条件:再举一例：级数收敛的必要条件若级数收敛,则必有定理但级数是否收敛?例4.这是因为y=1/x结束级数收敛的必要条件若级数收敛,则必有定理作业P1261.2.3.4.(1)(3)(5)(7)(8)5.(1)高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学（一）第五十讲正项级数脚本编写：教案制作：§8.2正项级数及其审敛法上页下页铃结束返回首页第二节常数项级数的审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理一、正项级数及其审敛法极限不存在证明第一比较判别法(2)是(1)的等价命题.则大收小收,小发大发.第一比较判别法解例2重要参考级数:

14、p-级数,调和级数，几何级数．例2提示:解:例3例4解:要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性,就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式,但有时直接建立这样的不等式相当困难,为应用方便,我们给出比较判别法的极限形式.定理8(第一比较判别法的极限形式)若两个正项级数满足:(1)当0

15、形式)若两个正项级数满足:(1)当0

16、的敛散性: