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《利用递推关系数列求和的技巧与方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、利用递推关系求数列通项的九种类型及解法1•形如~an=/(/0型(1)若f(n)为常数，即：-a”=3,此时数列为等差数列，则么=%+(n-l)d.(2)若f(n)为0的函数时，用累加法.方法如下：由6Z,,+1-an=/(n)得：77仝2吋，-=/(n—1)，an--a，卜2=f(n-2)，~a2=/(2)-a=/(!)所以各式相加得“"—ci{=厂(打一1)+^(/?—2)+•••+/(2)+f(1)，卜1即：an=a{+^/(Z:).为了书写方便，也可用横式来写：•••"22吋，an-an_{=f(n-1),an=(an~an-)+(么
2、-1—“,卜2)4■…+(“2_6ri)+6Zl=/(w—1)+/(打—2)+…+/(2)+/(I)+什.例1.(天津文)已知数列UJ满足％=1,an=3,?_
3、+an_x(n>2),证明a。3"-12证明：由己知得：an-an_x=3n_1,^an=(an~an-)+(6/,卜1—“,:-2)+…+(“2-%)+什3n_,+3,,_2+---+3+l=3”-12答案例2.己知数列kJ的苗项力1,且/V、写岀数列kJ的通项公式.n2-77+1例3•己知数列｛人｝满足％=3，an=an_x+(«>2),求此数列的通项公式•咖一1),1符案：=2—n
4、评注：已知什=67,atl+]-an=f(n),其屮f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项仏:.①若r(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和；③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和：④若f(n)足关于n的分式蚋数，累加后可裂项求和。2.形如=型(1)当f(n)为常数，即：^-=q(其中q是不为0的常数)，此吋数列为等比数列，an=a'.q”—'.(2)当r(n)为n的函数时，用累乘法.由£^=/(n)得吋，i=/(n—1)，“"-1••
5、•“"=—-=f(n)f(n-1)••••/(l)•6Z,.an-l«，卜2例1.设是首项为1的正项数列，且+=0(打=!，2，3,…)，则它的通项公式是人=解:已知等式可化为:(an+l+an)[(n+l)aw+1-nan]=077+1••a”>0(heN).(n+i)a/l+l-nan-0n-1II«1/Ia.-2/?6Z2-n117111打/?1211/2II评注：木题足关于“。和6ZW+1的二次齐次式，可以通过因式分解(一般情况吋川求根公式)得到…，与+^的更为明敁的关系式，从而求出^•例2.己知an+]=nan+a?—1，％〉一1,求数
6、列U｝的通项公式.解：因为an+l=na+w-1，所以an+l+1=nan+n,故a/l+l+1=n(aH+1),又因为％〉一1,即％+1〉0，所以由上式可知6^+1〉0,所以4+1+1/?，故由累乘法得an-i+1^,,-2+1a2+16/,+1(n-1)•(/?-2)2•1•(6/j+1)=("-1)!-(/7j+1)所以“"=(n-l)!(tz,+1)-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式久1+1=^?6/,,+^—1，转化为an+｝+1=n(atl+1)，若令/?,,=an+1，则问题进一步转化力+1=打么形式，进而应川累乘法求出
7、数列的通项公式.2.形如6Z/:+1+6F,,二/⑻型(1)若“,1+1+“/;=6/(d为常数)，则数列｛&：｝为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项來讨论；(2)若f(n)为n的函数(非常数)吋，可通过构造转化为6/„+1-型，通过累加来求出通项；或用逐差法(两式相减)得aH+i-an_｛=f(n)-f(n-l),,分奇偶项来分求通项.例1.数列｛｝满足a｝=0,alt+]+an=2n,求数列U｝的通项公式.分析1:构造转化为人+1-人=/(h)型解法1:令^=(一1)'u。=(-n-(-irx=(-n+“”)=㈠
8、b，卜'-bn_2=(―1广1•2(m-2)n22时，b2-b'=(-1)2-2x1b}=-a}=0各式相加：/^=2[(-1)/,(m_1)+(—If—1(n_2)+••.+(-1)3-2+(-1)2-lj当n力偶数吋，btl=2(H-l)4-(-1).=n.此吋72—1当n为奇数时，么=2(—)=—M+1此时/)n=-an，所以=n-.n-l，n为奇数，故Cl"为偶数.解法2:aH+l+an=2n•••n22时，人+an_x=2(n-1),两式相减得：cin+x—cifJ_｝=2.%，6Z3，七，•••，构成以％,为首项，以2为公差的等差数列
9、;,6f4，(Z6，…，构成以6f2，为首项，以2为公差的等差数列•••=+(众一1)(/=2/c—2n-l，n为奇数，n
