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1、第十三章多元函数积分学第一节二重积分的概念及性质第二节二重积分的计算方法（1）第二节二重积分的计算方法（2）高等数学电子教案西电第三节二重积分的应用第四节三重积分的概念及计算方法第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分高等数学电子教案西电教师：任春丽第一节二重积分的概念及性质一、二重积分的概念1、引例（1）计算曲顶柱体的体积（如图）设曲面且在D上连续第一节二重积分的概念及性质解:step1分割：任意划分D为n个小区域step2近似：step3求和:定义域第一节二重积分的概念及性质V=step4取极
2、限（2）计算平面薄板的质量第一节二重积分的概念及性质设有一平面薄板占有xoy面上闭区域D,在点P(x,y)的面密度为且在D上连续解：step1分割：DXYO第一节二重积分的概念及性质step2近似：step3求和：step4取极限：上面引例可以看到：两个引例的实际意义第一节二重积分的概念及性质不同，但都归结为同一形式的和式极限。我们把这种和式的极限抽象为二元函数在平面闭区域D上的二重积分的定义。2、定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界 函数。如果和式极限从在，则称此极限值为f(x,y）在区域
3、D上的二重积分，记作，即第一节二重积分的概念及性质积分区域被积函数积分变量面积元素积分符号因而，引例（1）体积被积表达式第一节二重积分的概念及性质引例（2）质量注(1）极限存在指：任意分割、任意取点、 和式极限值相等在直角坐标系下，若用平行与x轴，y轴的直线族划分D,则XYO第一节二重积分的概念及性质从而（3）二重积分为数，与变量符号无关即故记第一节二重积分的概念及性质3、二重积分存在的充要条件如果f(x,y)在闭区 域D上连续，则4、二重积分的几何意义（以D为底，f(x,y)未定的曲顶柱体的体积
4、）（曲顶柱体体积的负值）第一节二重积分的概念及性质一般的曲顶柱体体积的代数和例1、计算解：由几何意义（上半球体的体积）第一节二重积分的概念及性质二、二重积分的性质假设以下各积分存在性质1k为常数性质2性质3（可加性）第一节二重积分的概念及性质（除分界线）性质4如果性质5(不等式性)如果在D上第一节二重积分的概念及性质特别的:性质6(估值性)设第一节二重积分的概念及性质性质7(积分中值定理)设f(x,y)在闭区域D上连续,则至少存在一点证明：第一节二重积分的概念及性质由闭区域连续函数的介值定理,至少
5、存在一点第一节二重积分的概念及性质三、举例例2、设区域D:是变量y的奇函数XYO解：第一节二重积分的概念及性质是变量x的偶函数注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对于一般函数也成立例3、估计下列积分值第一节二重积分的概念及性质（2）求D上的最大最小值XYoD解：第一节二重积分的概念及性质Ep4:第一节二重积分的概念及性质其中D由x=0,y=0及x+y=1围成解：Ep5：解：第一节二重积分的概念及性质第一节二重积分的概念及性质第二节二重积分的计算方法（1）一、区域的类型及表示1、X-型区域：穿过区
6、域D的内部且平行于D的边界相交至多两点aaaxxxbbbxxxyyyooo第二节二重积分的计算方法2、Y-型区域：穿过区域D的内部且平行于x轴的直线与D的边界相交至多两点3、其它类型如图非X-型，非Y-型区域xyycdooxy第二节二重积分的计算方法例1、闭区域D由所围成，使用联立不等式表示区域D解：法一、D是X型区域则法二、D是Y-型区域且第二节二重积分的计算方法二、利用直角坐标计算二重积分解：一方面：——曲顶柱体的体积另一方面：利用平行截面为已知的立体体积计算设：区域D为X-型得截面面积第二节
7、二重积分的计算方法一般的综上：第二节二重积分的计算方法类似的，若D为Y-型区域——称为先x后y的二次积分情形仍成立关键，步骤如下：第二节二重积分的计算方法第一步：画区域D的图形第二步：确定类型，求投影曲间，穿入、穿出线方程，并用联立不等式表示区域第三步：将二重积分写成二次积分例2、计算其中区域D是由解：画图求出交点（-1，1）及（4，2）(4,2)(-1,1)第二节二重积分的计算方法法一D是X-型区域，且法二D是Y-型区域，且(4,2)(-1,1)第二节二重积分的计算方法例3、计算，其中D由所围成
8、解：D是X-型区域第二节二重积分的计算方法又D是Y-型区域无法积分这说明此积分先x后y的顺序的方法失效注：上述两例说明，在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要恰当的选择二次积分的顺序。这时，既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数f(x,y)的特性。第二节二重积分的计算方法例4、改变二次积分的积分次序均为X-型，画出区域D如图视为Y-型区域解：第二节二重积分的计算方法则原式=例5、计算由曲面所围立体的体积解：立体如图，且在xoy面上投影区域第二节二重积分的计算方法第二节二重
