多元函数积分学(上(1)

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1、第六章：多元函数积分学本篇重点是二重、三重积分及两类曲线积分、两类曲面积分的计算及应用，两类曲线积分的关系，两类曲面积分的关系，格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知全微分求原函数．§6.1二重积分本节重点是二重积分的计算及其在计算几何量和物理量上的应用．●常考知识点精讲一、二重积分的概念1．二重积分定义定义：设是平面有界闭区域上有界函数，将闭域任意分成个小闭区域其中表示第个小闭区域，也表示它的面积．在每一个上任取一点，作乘积，并作和，如果当各小区域的直径中的最大值趋于零时，这和的极限总存

2、在（与分法及的取法均无关），则称此极限值为函数在闭区域上的二重积分，记作，即2．二重积分的存在定理定理：若是平面有界闭区域上的连续函数，则二重积分一定存在．3．几何意义　　当连续函数时，二重积分表示以为底，为顶，侧面是以的边界为准线，母线平行于轴的柱面的曲顶柱体的体积．一般情况，=平面上方的曲顶柱体的体积减平面下方的曲顶柱体的体积．二、二重积分的性质　　设，在区域上可积，则1．．2942．（其中为常数）．3．，其中为区域的面积．4．若区域被有限条曲线分为两个区域，则5．在区域上若，则特别地6．（估值定理）若在区域上，表

3、示区域的面积，则7．（积分中值定理）设函数在闭域上连续，表示区域的面积，则在上至少存在一点，使得[例1.1]设，，，则（A）（B）（C）（D）解：由于，由二重积分几何意义知，表示曲顶柱体的体积，而，从而；又因为在上，所以由二重积分保号性定理可知，故应选（D）．[例1.2]估计积分的值，则正确的是（A）（B）294（C）（D）解：记，则的面积由于在区域上恒有所以由估值定理可得，即，故应选（C）．[例1.3]设区域为中心在原点，半径为的圆域，则（A）（B）（C）（D）解：由积分中值定理可知，内至少存在一点，使得于是原式，故

4、应选（B）．三、二重积分的计算1．利用对称性计算命题1：若积分区域关于轴对称，则其中是在轴上方或下方部分命题2：若积分区域关于轴对称，则其中是在轴左方或右方部分命题3：若积分区域关于直线对称，则294为在直线的上方或下方部分．2．利用直角坐标系计算命题1：若积分区域是型域，其不等式表示为则命题2：若积分区域是型域，其不等式表示为则3．利用极坐标计算命题1：如果区域包含极点，则命题2：如果区域的边界穿过极点，则命题3：如果区域远离极点，则评注：⑴如果区域是圆、圆环、扇形域，而被积函数为形式，一定用极坐标计算；⑵如果利用直

5、角坐标系计算二重积分，应适当选取积分的先后次序，选取的原则是：“先积的积分比后积的积分要简单”．[例1.4]设，则下列四个等式中不成立的是（A）（B）（C）（D）解：（A）是正确的．因为积分区域对称于轴，而被积函数是关于294的奇函数，所以积分值为零；（B）、（D）正确．因为积分区域对称于轴和轴，被积函数关于、都是偶函数．利用对称性可知此选项正确；（C）不成立，积分区域虽对称于轴和轴，但被积函数关于、都是奇函数，因此等式左端的积分值应为0，而右端的积分值大于零．故应选（C）．[例1.5]计算，其中由抛物线及直线所围成的

6、区域．解：见图．[例1.6]计算，其中是由中心在原点、半径为的圆周围成的闭区域．分析：由于积分域是圆域，被积函数形如，故选极坐标计算解：见图．四、二重积分的应用1．几何应用设曲面由方程给出，为曲面在平面上的投影区域，函数在上有连续一阶偏导数，则曲面面积．2．设有一平面型的物体，在平面上占有区域，其上每一点的面密度为，在平面上点处有一质量为的质点，则⑴该物体的质量为：⑵该物体的质心坐标为：294，⑶该物体绕轴的转动惯量绕轴的转动惯量：绕轴的转动惯量：绕直线的转动惯量：⑷该物体对质点的引力为：，．●●常考题型及其解法与技巧

7、一、概念、性质的理解[例6.1.1]设，其中，则（A）（B）（C）（D）分析：由于积分区域相同，所以积分的大小可以通过被积函数的大小来确定．解：由于，在直线的左下方，所以区域内的点都满足，因此，所以，根据积分的“保号性定理”可得．故应选（A）．[例6.1.2]平面区域，并设，，则有（A）（B）294（C）（D）解：，而积分区域关于都是对称的，所以；又因为在积分区域上，，，所以，，故应选（B）．二、交换积分次序Ⅰ直角坐标系中变更积分次序直角坐标系中变更积分次序解题的一般思路：①写出对应的二重积分积分域的不等式；②画出的草

8、图；③根据图形写出另一种次序下的二次积分．[例6.1.3]交换积分次序，则．解：该二次积分对应的二重积分的积分区域为，其不等式为画出的草图，右图所示因此交换积分次序后的二次积分为．[例6.1.4]交换二次积分次序．解：对应的二重积分积分区域的不等式为，则其中，画出的草图，右图所示因此交换积分次序后的二次积分为．Ⅱ不同坐标系下二次积