离散时间信号与系统的时域分析

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1、第1章离散时间信号与系统的时域分析1.1离散时间信号—序列1.2序列的卷积和1.3线性移不变系统1.4线性常系数差分方程1.5连续信号的抽样1.6离散线性相关本章首先介绍了离散时间信号的基本概念、常用序列和基本运算；其次介绍了序列的卷积和及其求解方法；然后着重讨论了线性移不变系统的特性和差分方程的时域解法；最后介绍了相关函数的基本概念，讨论了相关函数和线性卷积的关系。内容提要1.1离散时间信号—序列时间为离散变量的信号称为离散时间信号，它只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的序列，常用表示。许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全体{x(n)}。本书中，离散时间信

2、号与序列将不予区分。这里既指序列的第个数，又指整个序列。是由一个连续时间信号的抽样样得到的。若表示一个连续时间信号，以采样间隔对其进行周期抽样得到离散时间信号（取整数）。通常，为常量，所以就记为。其他表示方法：数的集合{·}的形式例如：表达式例如：图形例如：图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。1-2-1012n1-2-101mn1.单位抽样序列(单位样值)1.1.1常用序列任意序列可以表示成单位采样序列的移位加权和,即2.单位阶跃序列3.矩形序列4.正弦型序列其中，为数字频率。数字角频率模拟角频率抽样间隔频率5.实指数序列为实

3、数，当6.复指数序列7.周期序列如果存在一个最小的正整数N，满足则序列为周期性序列，N为周期。下图为周期序列示意图讨论一般正弦序列的周期性讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔Ts和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？设连续正弦信号：抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列。令：，N，k为互为素数的正整数即：，N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期例：1.1.2序列的基本运算1.移位设某一序列，当为正时，指原序列逐项依次延时（右移）位；而则指逐项依次超前（左移）位，当=1时称为单位延时。这里为整数。例2.反

4、褶(反转)若有序列，用置换中的自变量，定义为对的反褶信号，此时的波形相当于将的波形以为轴翻转得到。例3序列的加减两序列的加、减指同序号的序列值逐项对应相加、减而构成一个新的序列，表示为4乘积两序列的乘积指同序号的序列值逐项对应相乘而构成一个新的序列，表示为例已知序列求序列，5.差分序列的一阶前向差分定义为一阶后向差分定义为前向差分和后向差分运算可相互转换，即例已知序列，则前向差分和后向差分如下图6.累加设某一序列为，则的累加序列定义为该定义表示序列在时刻的值等于时刻的值以及时刻以前所有值的累加和。序列的累加运算类似于连续信号的积分运算。例已知序列，则7时间尺度变换序列的尺

5、度变换类似于连续时间信号的时域伸缩变换，包括抽取和插值两类。抽取：令，M为正整数，称是由作M倍的抽取所产生的，即从中每隔M-1点取1点。y(-1)=x(-1·3)y(0)=x(0·3)y(1)=x(1·3)解：…如图所示，取M=3,则y(n)=？其分解过程见下例插值：令，L为正整数，称是由作L倍的插值所产生的。分解过程如下：例一序列的抽取和插值的过程。作抽取运算时，每2点（每隔1点）取1点；作插值运算时，每2点之间插入1点，插入值是0。1.2序列的卷积和1.2.1卷积和的定义及计算设序列、它们的卷积和定义为卷积和计算分四步：反褶(反转)、移位、相乘、相加。计算步骤1）变量

6、置换把离散信号和的变量，都用m置换，作出的波形。2）反转以为对称轴，将反转，得到。3）移位把移位，变为。，把向右移位；，把向左移位。4）累加计算累加例求：01231/213/2m012m1图解法-1012345n1/23/235/23/2例已知，求23145369312152462810123145列表法例：已知序列x(n)和h(n)如下：求其卷积。1.2.2卷积和的性质1）交换律2）结合律3）分配律4）是离散卷积的单位元5）是单位延迟器一般地有6）是数字积分器7）是离散卷积的单位元例已知，试求信号，使它满足。解如果两序列长度分别为和，则它们的卷积长度为结论1.3线性移不

7、变系统系统实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即[·]若离散时间系统满足均匀性与叠加性，则称此系统为离散时间线性系统。1.3.1线性系统若输入序列为与，输出序列分别为与，即，假设输入时，若系统的输出满足下式则该系统就是线性系统。例证明所代表的系统不是线性系统。证明因为所以但是因而所以此系统不是线性系统。1.3.2移不变系统定义：若系统的响应与激励施加于系统的时刻无关，则称该系统为移不变系统。若则用公式表述为：即表明输入移动任意位，其输出也移动相同位数，而其幅值保持不变。例判断所代表的系统是否