高等数学微积分笔记

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1、实用标准文案第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:3.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的;则它必定存在反函数:y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1<x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单

2、调增加();若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少();若f(x1)<f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加();若f(x1)>f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称偶函数:f(-x)=f(x)奇函数:f(-x)=-f(x)3.函数的周期性:周期函数:f(x+T)=f(x),x∈(-∞,+∞)周期:T——最小的正数4.函数的有界性:

3、f(x)

4、≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数:y=c,(c为常数)2.幂函数:y=xn,(n为实数)3.指数函数:y=ax,(a>0、a≠1)4.对数函数:

5、y=logax,(a>0、a≠1)5.三角函数:y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函数:y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数1.复合函数:y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X精彩文档实用标准文案2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算(加、减、乘、除)和复合所构成的,并且能用一个数学式子表示的函数§1.2极限一、主要内容㈠极限的概念1.数列的极限:称数列以常数A为极限;或称数列收敛于A.定理:若的极限存在必定有界.2.函数的极限

6、:⑴当时,的极限:⑵当时,的极限:左极限:右极限:⑶函数极限存的充要条件:定理:㈡无穷大量和无穷小量1.无穷大量:称在该变化过程中为无穷大量。X再某个变化过程是指:2.无穷小量:称在该变化过程中为无穷小量。3.无穷大量与无穷小量的关系:定理:4.无穷小量的比较:⑴若,则称β是比α较高阶的无穷小量;⑵若(c为常数),则称β与α同阶的无穷小量;⑶若,则称β与α是等价的无穷小量,记作:β~α;精彩文档实用标准文案⑷若,则称β是比α较低阶的无穷小量定理:若:则:㈢两面夹定理1.数列极限存在的判定准则:设:(n=1、2、3…)且:则:2.函数极限存在的判定准则:设:对于点x

7、0的某个邻域内的一切点(点x0除外)有:且:则:㈣极限的运算规则若:则:①②③推论:①②③㈤两个重要极限1.或2.§1.3连续一、主要内容㈠函数的连续性1.函数在处连续:在的邻域内有定义,1o2o左连续:右连续:2.函数在处连续的必要条件:精彩文档实用标准文案定理:在处连续在处极限存在1.函数在处连续的充要条件:定理:2.函数在上连续:在上每一点都连续。在端点和连续是指:左端点右连续;右端点左连续。a+0b-x3.函数的间断点:若在处不连续,则为的间断点。间断点有三种情况:1o在处无定义;2o不存在;3o在处有定义,且存在,但。两类间断点的判断:1o第一类间断点:

8、特点:和都存在。精彩文档实用标准文案可去间断点:存在,但,或在处无定义。2o第二类间断点:特点:和至少有一个为∞,或振荡不存在。无穷间断点:和至少有一个为∞㈡函数在处连续的性质1.连续函数的四则运算:设,1o2o3o2.复合函数的连续性:精彩文档实用标准文案则:1.反函数的连续性:㈢函数在上连续的性质1.最大值与最小值定理:在上连续在上一定存在最大值与最小值。yy+MMf(x)f(x)0abxm-M0abx1.有界定理:在上连续在上一定有界。3.介值定理:在上连续在内至少存在一点,使得:,其中:yyM精彩文档实用标准文案f(x)Cf(x)0aξbxm0aξ1ξ2b

9、x推论:在上连续,且与异号在内至少存在一点,使得:。4.初等函数的连续性:初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学§2.1导数与微分一、主要内容㈠导数的概念1.导数:在的某个邻域内有定义,2.左导数:右导数:定理:在的左(或右)邻域上连续在其内可导,且极限存在;则:(或:)3.函数可导的必要条件:精彩文档实用标准文案定理:在处可导在处连续4.函数可导的充要条件:定理:存在,且存在。5.导函数:在内处处可导。y6.导数的几何性质:是曲线上点处切线的斜率。ox0x㈡求导法则1.基本求导公式:2.导数的四则运算:1o2o3o3.复合函数的导数:,或☆注意与

10、的区别:表

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