厦门大学第13届景润杯数学竞赛试题评分标准（经管类）

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1、厦门大学第13届“景润杯”数学竞赛评分标准(经管类)一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，总计30分)L丄；2人3.W)+8rr(r);4.第-类间断点；5.(21n2+l)(dx-dy)；23f{t)6.f(2);7.8；8.6/jX2+x(Z?,cos%4-Z?2sinx)；9.0；10.—(ev-eCOS7LV二、(本题6分)设/⑴在［0,2］上连续，在(0,2)内二阶可导，且1叫^^=0f(x)dx=f(2),证明:存在《e(0,2)，使rw=o.解：因为/(X)在上连续，则(1分)/(丄)=limf(x)=lim’⑴•cos—x=0.2丌2cos

2、—X2由题设知，/'(-)=limx—>-/u)-/(2)

3、=lim-limA_>lcos7Lr122——2(3分)r/(X)r-7tsin7L¥nn-1limJ•lim=0x7i=0.x-4COS7LYX-J-22另一方而，因为2j*I/⑺dx=/(2),由积分中值定理，存在使得22/(2)二2/(7,)(1-1)二/咏)，(4分)再由罗尔定理存在772€(^2),使得/'(72)=0.(5分)由于丄<%<72,在［丄，％］上对尸⑺应用罗尔定理，存在什(

4、，72)<=(0,2)，222使得尸(0=0.(6分)三、(本题6分)设/(%)在［6Z,tz+2/l］

5、上连续，证明：存在fe［似+2］,使得/(^+/I)-/(^)=+22)-/(^)1.(2分)F(a)=f(a+A)-f(a)-

6、[/(a+22)-/(“)]=/(“+A)-j[/(“+22)+f(a)]F(a+A)=f(a+2A)-f(a+2)-—[f(a+2A)-/•(“)]=-，(“+2)+![，(“+2乂)"⑻]因而F(«+2)F(«)《0.(4分)i)-0,=a；ii)SF(a+A)=0,取f=t7+>l;iii)若F(“+乂⑻<0，则存在fe(a，《+2)，使得F(O0.故存在

7、[/(6

8、z+2/0-/⑻].(6分)222四、(本题8分)求曲面C^+(2)5+(ir=1，(4么00)所围区域£1的体积7.abc证明：做积分变换：x=^w^=Z?vz=cvr3,(2分)则所围的区域n就变换成flpw2+v2+vir<1J=5（义，％z）5（w，v，w）生00du00dv00dz3au20003"v20003civ221abcirv^wdw所以V=JJJcLrdvdz=JJJ

9、J

10、d£/dvdvv=JJJ21abcu2v2w2dudvdw.（4分）再利用球坐标令w=rsin^cos^v=rsin^sin^w=rcos(p,J=r2sincpV=

11、JJJ21cibcu~v1w1AuAvAw=2，labc^r6sin4识sin20cos23cos2(p-r2sin(pdrd(pdd=21abc^sin5^cos2^^?£sin2^cos2^d^£rsdr(6分)=3tz/?c(£7lsin5^?cos2列p)(£%in2Geos2沒d沒)其中：Isin2沒cos2沒d沒1f2n4sin22側沒1f27T87C(l-cos4^)d^=—,ttnnnn()sin,pcos=£sin^d^?_£sin=2

12、J()2sin

13、c--—=—abc.(8分，每个积分1分)35x3435五、(本题8分)设函数zu)4n，/2(x)=^o^1，求:0x<00具匕(1)函数^9(，)=£乂(x)f2(t-x)dx(0

14、10je[0,3]其它(2分)(•+00当OUSl时，(p(t)=Jaf^x)f2(t-x)dx=fe_A(Z-XKk=Z+er-1•(3分)*0f+co当1的而积A=£^?(x)dx=£识(X)dx+£(p(x)dx(6分)

15、=£(x+e~'-l)ck+£e"vd