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《厦门大学第8届景润杯数学竞赛试卷及解答（经管）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、及门太嗲第，、雇省阀林教嗲竞赛试來嗲虼專级考東竞赛讨闷2011.05.29《轻管象》1.（10分）獅!迪£dtj^arctan(lbu)dux(l—cost)2.(10分)设/(x)在[6z，+cc)上连续，且lim[/(x)+f'/(t)dt]=Ax^4ooJa证明：limfA/(t)dt=A，lim/⑵=0.x—>+xJax^+oo3.（10分）设/GO在[6Z，/?]上连续，（6Z,/?）内可导，j[f（x）-x]dx=09JCl/⑻=6Z，求证：在（A幻内至少有一点f，使得尸以）=/K+1.4.(1
2、0分)设/(义，J7)=义cos之+;/sin三求dfdf2a2/oa2/,d2foxoyox"cxcyay5.(10分)已知连续函数/u)满足：其中Q=｛（%,^,z）x2+y2+z2=｛（x，y）x2+y2《1｝，试求函数/（%）•6.（10分）已知平面区域£>=｛（%，力丨0<又仝疋，0<｝^疋｝，[为£）的正向边界，试证f-Xsil"dAUe柳2/r2LCC7.（io分）根据6Z的取值，讨论正项级数¥[e-（i+^Tr的敛散性8.（10分）求幂级数n=lAM2/1-1的收敛域。rx-yz
3、+19.（10分）设直线一=f=一T在平面的投影直线为A,21—1在，Z平面的投影直线为4，试问£,与12是否异面？若异面，请求出公垂线段的长度及公垂线方程。10.（10分）求一条曲线，使它通过点（0，1）,且其上任一点P（x,＞，）处的切线和法线在x轴上截下的线段长度为/+1。竞赛讨闷2011.05.29《轻管來》及门太嗲第，、雇省阀林獻嗲竞赛试來.斗钺.1.(10分)獅郜解：交换积分次序，£dtj^arctan(lbu)dux(l—cost)Warctanfku)dtfu2arctan(l4-u)du=
4、lim摩或x^0+x(l—COSX)-v^0+12rx2arctan(kx)2tl——lim3h()+2.(10分)设/(x)在[6Z，+oo)上连续，且lim[/(x)+「/(t)dt]=A,x—>400Ja证明：limfA/(t)dt=A,lim/⑴=0•.r—>-kc^fcix->+oo证：lim/⑴dt=lim£J^=lim叫/⑴dt+印气AX->-KOX->-KOX->+O0再由已知条件lim[/⑶+f/(t)dt]=A,显然有lim/⑺=03.(10分)设/(x)在[6z，Z?]上连续，(a的内可
5、导，j[f(x)-x]dx=09JCl/⑷=£Z,求证：在内至少有一点f，使得+1.证：解：作辅助函数0(%)=e_x(/(%)-X),由题设条件[f(x)-x]dx=Gf利用枳分中值定理，存在ceh，/?)，使得[/(x)-x]dx=(/(c)-c)(Z?-a)=09a于是/(C)—c=0。则⑻=C＞⑻=0,应用罗尔定理，存在（€/，/?）,使得①W=o。则呢）=^（，（幻-仰+卜1）=0即/'（o/（k+i。4.(10分)设y)=XCOS^+y2sin三求xydfdf2d2fnd2f2d2f(1)x^-v
6、y^-.(2)x^+2xy-^-+yoxdyaxdxdydy解：(z)iB/(x,y)=叭x，y)+y/(x9y)，其中^(x，y)=xcos—,^(x,y)=y2sinx则对任意的20,有f(Ax,Ay)=^(/Lv,々)+^(/U,Ay)=杉(x，y)+AV(x，)，)记w=/U,v=办,在上式两端对/l求导，得5/(W，V)5/(fZ,V)、nu/、x-hy-=^(x,y)+2Ai//(x,y)(1)dudv(2)上式两端乘叫1，得c’G’’v)+8f(u,v)_似(又，夕)+222^(x,y)=v)+
7、2i//(u,v).dudv亦即X冬+y^-=y)+2^(x,y).exdy⑹在(2)式两边再关于梂导，得乂^V)2=2()du2dudvava^av2YJ(3)即du—cuovov在(3)两端乘以A2,得5卿斤2?卿?$摩=2編吻⑽)，2du3/(x)=20x2--712-av2，:V试求函数/（x）.解利用球坐标变换，可得++z")dxdydz-—JJf(」x2+y2)dxdy，JJJ,G/?+y2+z2)cWdz=sin/(r)r2dr=47c£x2/(x)dr.Q利用极坐标变换，可得JJf(扣+y2)
8、dxdy二/(r)zxk二2te£xf(x)dx.D因此，/(x)=20x2-12x£x2/(x)dv-6£a/(x)(1v.记A=£x2/(x)d%,fi=£V(/)dx，贝ijf(x)=20x2-12Ax-65，由x/(x)=20x3-12Ay2-6Bx，两边从0到1积分，可得£xf(x)dx=2o£x3dx-2/l£x2dx-6b£xdx,即4A+4B=:由x2f(x)=20x4-12Ar3
