高中数学第二章数列2.3.1等比数列课堂探究学案新人教b版必修5

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1、2.3.1等比数列课堂探究一、解读等比数列的主要性质剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法，但如果灵活运用性质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质．等比数列有以下性质：(1)两个等比数列的积仍为等比数列．(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq．(3)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积．(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1．(5)当数列{an}是各项都为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列．(6

2、)当m，n，p(m，n，p∈N＋)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．(7)等比数列{an}中，若公比为q，则数列{λan}仍是公比为q的等比数列；若{bn}是公比为q′的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q·q′的等比数列；数列是公比为的等比数列；{

3、an

4、}是公比为

5、q

6、的等比数列．二、求数列通项公式的方法剖析：1．如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式，求得a1，d(或q)，直接套用公式即可．2．若已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an＝用此公式时我们应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an(

7、n≥2)合为一个表达式．3．对于形如an＋1＝an＋f(n)型或形如an＋1＝f(n)an型的数列，其中f(n)是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式．4．有些数列本身并不是等差数列或等比数列，但可以经过适当变形，构造出一个等差数列或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式，这叫做构造法．例如：在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an+2＝an+1＋an，我们在上式的两边减去an+1，得an+2－an+1＝－(an+1－an)，即可构造一个等比数列来解决问题．6当然，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我

8、们应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列，从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项．三、教材中的“？”1．为什么q≠0？等比数列中的项有可能等于0吗？剖析：因为等比数列的公比是后项与前项的商，其商不能为0，除数也不可能为0，故q≠0，在等比数列中，各项都不会为0．2．等差数列的通项公式是怎样推导出来的？怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式？剖析：等比数列的通项公式的推导类似于等差数列，先采用归纳的方法猜想出通项公式，然后利用迭乘的方法证明得an＝a1qn－1．3．你能通过公比q的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？剖析：当a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1时，数列{an}为递增

9、数列；当a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，数列{an}为递减数列；当q＝1时，数列{an}为常数列；当q＜0时，数列{an}为摆动数列．四、教材中的“思考与讨论”对于例3中的数列，你是否发现a5，a10，a15，a20恰好成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？剖析：在已知数列中，每隔k项取一项，保持原来顺序依次排列，所得数列还是一个等比数列．题型一　等比数列定义的应用【例1】已知数列的通项公式为an＝3×2n，试问：这个数列是否为等比数列？分析：可用定义法、等比中项法证明．解：解法一：∵＝＝2(常数)，∴{an}是等比数列．解法二：∵an＋1＝3×2n＋1

10、，an＋2＝3×2n＋2，an·an＋2＝3×2n×3×2n＋2＝9×22n＋2＝a，∴{an}是等比数列．反思：已知某数列的通项公式，判定其是否为等比数列，可依据等比数列的定义证明．常用的判定等比数列的方法有：(1)定义法：＝q(常数)；(2)等比中项法：a＝anan＋2(an≠0)．6题型二　等比数列的通项公式的应用【例2】在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n．分析：先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量．解：(1)解法一：因为所以由，得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2，于是a1＝＝

11、，所以an＝a1qn－1＝．解法二：因为a7＝a4q3，所以q3＝4．所以an＝a4qn－4＝2·()n－4＝．(2)解法一：因为由，得q＝，从而a1＝32又an＝1，所以32n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6．解法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝．由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32．由an＝a1qn－1＝1，得n＝6．反思：a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量