2018版高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列（二） 学案 新人教b版必修5

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1、2．3.1　等比数列(二)学习目标　1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．知识点一　等比数列通项公式的推广思考1　我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.等比数列也有类似变形吗？思考2　我们知道等差数列的通项公式可以变形为an＝dn＋a1－d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？梳理　公比为q的等比数列{an}中，an＝a1qn－1＝·qn.{an}的单调性由a1，q，q－1共同确定如下：当或时，{an}是递增数列；当或时，{an

2、}是递减数列；q＜0时，{an}中的项交替为正值或负值；q＝1时，{an}是常数列．知识点二　由等比数列衍生的等比数列思考　等比数列{an}的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1){3an}是等比数列；(2){3＋an}是等比数列；(3){}是等比数列；(4){a2n}是等比数列．梳理　(1)在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，…，akn，…，若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，…，akn，…是等比数列．(2)如果{an}，{bn}均为等比数列，那么数列{}，{an·bn}，{}，{

3、an

4、}仍是

5、等比数列．知识点三　等比数列的性质思考　在等比数列{an}中，a＝a1a9是否成立？a＝a3a7是否成立？a＝an－2an＋2(n>2，n∈N＋)是否成立？梳理　一般地，在等比数列{an}中，若m＋n＝s＋t，则有am·an＝as·at(m，n，s，t∈N＋)．若m＋n＝2k，则am·an＝a(m，n，k∈N＋)．类型一　等比数列性质的应用例1　已知数列{an}为等比数列．(1)若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝36，求a3＋a5的值；(2)若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求数列{an}的通项公式．　　　　反思与感悟　在等比数列的有关运算中，常常涉及到

6、次数较高的指数运算．若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果．跟踪训练1　(1)在递增等比数列{an}中，a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a11的值．(2)已知数列{an}成等比数列．若a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值．　　　类型二　灵活设项求解等比数列例2　有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．　　　　　反思与感悟　合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题

7、的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.跟踪训练2　三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．　　类型三　等差数列与等比数列的综合应用例3　设数列{an}的前n项和Sn＝n2，数列{bn}满足bn＝(m∈N＋)．(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt满足b1，b4，bt(t∈N＋，t≥5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由．　　　　反思与感悟　(1)在等差数列与等比数列的综合

8、问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式．(2)方程思想的应用往往是破题的关键．跟踪训练3　已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，Sn为{an}的前n项和．(1)求通项公式an及Sn；(2)设{bn－an}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的通项公式．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比q为(　　)A．2B．3C．4D．82．在等比数列{an}中，an>0，且a1·a10＝27，则log3a2＋log3a9等于(　　)A．9B．6C．3D．23．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比

9、数列，则插入的6个数的积为________．4．已知an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？　1．解题时，首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法．2．所谓通式通法，指应用通项公式、前n项和公式、等差中项、等比中项等列出方程(组)，求出基本量．3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．答案精析问题导学知识点一思考1　在等比数列中，由通项公式an＝a1qn－1，得＝＝qn－m，所以an＝am·qn－m(n，m∈N＋)．思考2　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.则an＝a1q