半正定矩阵性质的研究论文

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1、政畢大摩本科毕业论文半正定矩阵的性质学号:学生姓名:指导教师:所在学院:所学专业:201012010333王悦局福川页数学与统计学院数学与应用数学二O—四年五月摘要本文在半正定矩阵定义的基础上，应用正定矩阵的相关性质，研宂Y半正定矩阵的性质，判定及其实际应用.关键词：矩阵;半正定矩阵；主子式；合同变换AbstractInthispaper，westudiedtheproperties,decisionandpracticalapplicationofpositivesemi-definitema

2、trixbyusingthepropertiesofdefinitematricesbasedonthedefinitionofpositivesemi-definitematrix.Keywords:Matrix;Positivesemi-definitematrix;Principalminor;Congruenttransformation目录中文摘要I英文摘要IIgITI1•弓IW122.1基本概念22.2半正定矩阵的性质32.3秩为A2-1的半正定矩阵的性质63应用举例7W9#教献10

3、in1.引言矩阵是线性代数的一个重耍内容，是解决许多实际问题的重耍工具，在物理学及其它科学技术领域，在经济及其它社会领域都有广泛的应用.1850年，英国数学家西尔维斯特（SylveSter，1814_1897）在研究方程的个数与未知量的个数不相冋的线性方程组吋，因为无法使用行列式而引入了矩阵的概念，它的产生对于解线性方程组有很大的帮助.1989年，陈顺卿，冯慈璜等人对正定矩阵做出了进一步的研宄，给出了关于矩阵特征根的一个不等式，由此导出有关矩阵迹的一些不等式.1994年，姚存峰在关于次半正定矩阵

4、一文中给出了次半正定矩阵的基本概念.论述了次半正定矩阵的基本性质，讨论了次半正定矩阵Kroneeker乘稅和Hadamard乘积的次半正定性.1996年，欧本博在关于半正定矩阵的一些结果中给出半正定矩阵的一种合同标准形并由此得出了半正定矩阵的两个性质：半正定矩阵的行列式非负；可逆半正定矩阵的逆矩阵也半正定.2004年，朱广化在半正定矩阵迹的两个不等式一文中，利用矩阵代数的理论与方法，研宂了半正定矩阵的不等式问题，给出半正定矩阵迹的两个不等式.2009年，邹黎敏，胡兴凯，伍俊良，在正定矩阵的性质及

5、判别法一文中，得到了正定矩阵对称积，实部的估计，谱半径估计以及行列式估计的一些结果.提出了判断矩阵正定性的算法，并给出了算例.2009年7月，刘畅，徐兆棣在正定矩阵性质的推广一文中，通过运用正定矩阵的定义和一般理论，得出了正定（半正定）矩阵的偏序理论，即是正定（半正定）矩阵的一些重要性质，得出了一些矩阵不等式；并将代数中的均值不等式推广到矩阵形式的不等式.木文在前人研究的基础上，以半正定矩阵的概念为基础，应用正定矩阵的相关性质，研宄半正定矩阵的性质，判定及其应用问题，从面更深刻的理解半正定矩阵的

6、内涵和性质.1.主要结果2.1基本概念定义2.1.1正定矩阵设Ae/rXM，a=a7’，若任意的Wx7ax>o,则称a为对称正定矩阵，记A〉0.定义2.1.2半正定矩阵设Ag/?/IXW，A=Ar,若对于任意的Xe，有X1AX>09则称矩阵A为半正定矩阵.记作A>0.如果/I一fi>0,记作A>S.定义2.1.3矩阵的特征值与特征向量设AePMXM，若存在AeP和非零向量xeP"，使得=成立，则称/I为A的一个特征值.非零n维列向量;c称为矩阵A的属于（对应于）特征值4的特征向量，简称4的特征向

7、量.定义2.1.4合同变换设A,BeFnxn,如果存在可逆矩阵PeFwx'1，使得则称在数域F上S与A合同，也称对A进行合同变换化为B.定义2.1.5可对角化设AeF'1-，若存在可逆矩阵Pe广1使得厂1/IP二D为对角矩阵，那么称矩阵A可对角化.定义2.1.6张量积设A=(%),■，B=张量稅anBa22Ba2nBmnBmpxnq2.2半正定矩阵的性质2.2.1运算性质性质1设A，fie/Txn是对称矩阵，且A20,520,那么A+B也为半正定的.证明由于/I，Se/?HX"是对称矩阵，>A>

8、0,B>0,则有XtBX>0那么有Xr（A+B）X=XTAX+XTBX>Q所以4+B为半正定的.性质2设A是对称矩阵，€/>0,则以也为半正定的.证明由于A是对称矩阵MA>0,则有那么有XT{aA）X=aXTAX=a（XTAX}>Q所以为半正定矩阵.性质3设A,Be是对称矩阵，且A20,520，Afi是半正定矩阵充分必要条件是AB=BA.证明（必要1*生）因为A，Be/Txw是对称矩阵，且AB二BA，则存在可逆矩阵戶，使得P'lAP,P-}BP同时为对称阵，所以有：ZjZ乂1P-1AP=•••