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《高考数学大一轮复习1.2命题及其关系、充分条件与必要条件学案理苏教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、学案2 命题及其关系、充分条件与必要条件导学目标:1.能写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.自主梳理1.命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.2.四种命题及其关系(1)四种命题一般地,用p和q分别表示原命题的条件和结论,用綈p和綈q分别表示p和q的否定,于是四种命题的形式就是原命题:若p则q(p⇒q);逆命题:若q则p(q⇒p);否命题:若綈p则綈q(綈p⇒綈q);逆否命题:若綈q则綈p(綈q⇒綈p).(2)四种命题间的关
2、系(3)四种命题的真假性①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.②两个命题为逆命题或否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件若p⇒q,则p叫做q的充分条件;若q⇒p,则p叫做q的必要条件;如果p⇔q,则p叫做q的充要条件.自我检测1.(2011·南京模拟)设集合A=,B={x
3、04、05、06、中,p是q的必要不充分条件的是________.(填序号)①p:a+c>b+d,q:a>b且c>d;②p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过第二象限;③p:x=1.q:x2=x;④p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上为增函数.7答案 ①解析 ①中,由于a>b,c>d⇒a+c>b+d,而a+c>b+d却不一定推出a>b,c>d,故①中p是q的必要不充分条件;②中,当a>1,b>1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过第二象限时,有a>1,b≥1,故②中p是q的充分不必要条件;③7、中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有x=1,故③中p是q的充分不必要条件;④中p是q的充要条件.3.设a、b都是非零向量,那么命题“a与b共线”是命题“8、a+b9、=10、a11、+12、b13、”的________条件.答案 必要不充分解析 14、a+b15、=16、a17、+18、b19、⇒a、b同向⇒a与b共线;反之,当a与b共线时,不一定有20、a+b21、=22、a23、+24、b25、,故a与b共线是26、a+b27、=28、a29、+30、b31、的必要不充分条件.4.与命题“若a∈M,则bM”等价的命题是____________________.答案 若b∈M,则aM解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否32、命题即可.5.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)答案 ②③⑤解析 原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,由⇒⇒m>1.故⑤正确.探究点一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题33、、逆否命题,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数;(2)等底等高的两个三角形是全等三角形;(3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.解题导引 给出一个命题,判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时,如果直接判断命题本身的真假比较困难,则可以通过判断它的等价命题的真假来确定.解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.真命题.否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三34、角形不全等.真命题.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.假命题.(3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.真命题.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧.真命题.7逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.变式迁移1 有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相
4、05、06、中,p是q的必要不充分条件的是________.(填序号)①p:a+c>b+d,q:a>b且c>d;②p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过第二象限;③p:x=1.q:x2=x;④p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上为增函数.7答案 ①解析 ①中,由于a>b,c>d⇒a+c>b+d,而a+c>b+d却不一定推出a>b,c>d,故①中p是q的必要不充分条件;②中,当a>1,b>1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过第二象限时,有a>1,b≥1,故②中p是q的充分不必要条件;③7、中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有x=1,故③中p是q的充分不必要条件;④中p是q的充要条件.3.设a、b都是非零向量,那么命题“a与b共线”是命题“8、a+b9、=10、a11、+12、b13、”的________条件.答案 必要不充分解析 14、a+b15、=16、a17、+18、b19、⇒a、b同向⇒a与b共线;反之,当a与b共线时,不一定有20、a+b21、=22、a23、+24、b25、,故a与b共线是26、a+b27、=28、a29、+30、b31、的必要不充分条件.4.与命题“若a∈M,则bM”等价的命题是____________________.答案 若b∈M,则aM解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否32、命题即可.5.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)答案 ②③⑤解析 原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,由⇒⇒m>1.故⑤正确.探究点一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题33、、逆否命题,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数;(2)等底等高的两个三角形是全等三角形;(3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.解题导引 给出一个命题,判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时,如果直接判断命题本身的真假比较困难,则可以通过判断它的等价命题的真假来确定.解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.真命题.否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三34、角形不全等.真命题.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.假命题.(3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.真命题.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧.真命题.7逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.变式迁移1 有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相
5、06、中,p是q的必要不充分条件的是________.(填序号)①p:a+c>b+d,q:a>b且c>d;②p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过第二象限;③p:x=1.q:x2=x;④p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上为增函数.7答案 ①解析 ①中,由于a>b,c>d⇒a+c>b+d,而a+c>b+d却不一定推出a>b,c>d,故①中p是q的必要不充分条件;②中,当a>1,b>1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过第二象限时,有a>1,b≥1,故②中p是q的充分不必要条件;③7、中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有x=1,故③中p是q的充分不必要条件;④中p是q的充要条件.3.设a、b都是非零向量,那么命题“a与b共线”是命题“8、a+b9、=10、a11、+12、b13、”的________条件.答案 必要不充分解析 14、a+b15、=16、a17、+18、b19、⇒a、b同向⇒a与b共线;反之,当a与b共线时,不一定有20、a+b21、=22、a23、+24、b25、,故a与b共线是26、a+b27、=28、a29、+30、b31、的必要不充分条件.4.与命题“若a∈M,则bM”等价的命题是____________________.答案 若b∈M,则aM解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否32、命题即可.5.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)答案 ②③⑤解析 原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,由⇒⇒m>1.故⑤正确.探究点一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题33、、逆否命题,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数;(2)等底等高的两个三角形是全等三角形;(3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.解题导引 给出一个命题,判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时,如果直接判断命题本身的真假比较困难,则可以通过判断它的等价命题的真假来确定.解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.真命题.否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三34、角形不全等.真命题.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.假命题.(3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.真命题.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧.真命题.7逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.变式迁移1 有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相
6、中,p是q的必要不充分条件的是________.(填序号)①p:a+c>b+d,q:a>b且c>d;②p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0,且a≠1)的图象不过第二象限;③p:x=1.q:x2=x;④p:a>1,q:f(x)=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上为增函数.7答案 ①解析 ①中,由于a>b,c>d⇒a+c>b+d,而a+c>b+d却不一定推出a>b,c>d,故①中p是q的必要不充分条件;②中,当a>1,b>1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过第二象限时,有a>1,b≥1,故②中p是q的充分不必要条件;③
7、中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有x=1,故③中p是q的充分不必要条件;④中p是q的充要条件.3.设a、b都是非零向量,那么命题“a与b共线”是命题“
8、a+b
9、=
10、a
11、+
12、b
13、”的________条件.答案 必要不充分解析
14、a+b
15、=
16、a
17、+
18、b
19、⇒a、b同向⇒a与b共线;反之,当a与b共线时,不一定有
20、a+b
21、=
22、a
23、+
24、b
25、,故a与b共线是
26、a+b
27、=
28、a
29、+
30、b
31、的必要不充分条件.4.与命题“若a∈M,则bM”等价的命题是____________________.答案 若b∈M,则aM解析 因为原命题只与逆否命题是等价命题,所以只需写出原命题的逆否
32、命题即可.5.给出下列命题:①原命题为真,它的否命题为假;②原命题为真,它的逆命题不一定为真;③一个命题的逆命题为真,它的否命题一定为真;④一个命题的逆否命题为真,它的否命题一定为真;⑤“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R”的逆命题.其中真命题是________.(把你认为正确命题的序号都填在横线上)答案 ②③⑤解析 原命题为真,而它的逆命题、否命题不一定为真,互为逆否命题同真同假,故①④错误,②③正确.又因为不等式mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,由⇒⇒m>1.故⑤正确.探究点一 四种命题及其相互关系例1 写出下列命题的逆命题、否命题
33、、逆否命题,并判断其真假.(1)实数的平方是非负数;(2)等底等高的两个三角形是全等三角形;(3)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所对的弧.解题导引 给出一个命题,判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时,如果直接判断命题本身的真假比较困难,则可以通过判断它的等价命题的真假来确定.解 (1)逆命题:若一个数的平方是非负数,则这个数是实数.真命题.否命题:若一个数不是实数,则它的平方不是非负数.真命题.逆否命题:若一个数的平方不是非负数,则这个数不是实数.真命题.(2)逆命题:若两个三角形全等,则这两个三角形等底等高.真命题.否命题:若两个三角形不等底或不等高,则这两个三
34、角形不全等.真命题.逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等高.假命题.(3)逆命题:若一条直线经过圆心,且平分弦所对的弧,则这条直线是弦的垂直平分线.真命题.否命题:若一条直线不是弦的垂直平分线,则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧.真命题.7逆否命题:若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧,则这条直线不是弦的垂直平分线.真命题.变式迁移1 有下列四个命题:①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;②“全等三角形的面积相等”的否命题;③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题;④“不等边三角形的三个内角相
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