3线性系统的能控性和能观测性

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1、第三章线性系统的能控性和能观测性3.1能控性和能观测性的定义3.2线性连续时间系统的能控性判据3.3线性连续时间系统的能观测性判据3.4对偶性原理3.5线性离散时间系统的能控性和能观测性3.6能控规范形和能观测规范形：SISO情形3.7能控规范形和能观测规范形：SISO情形3.8线性系统的结构分解3.1能控性和能观测性的定义一意义：所谓状态空间描述，就是用状态方程和输出方程来描述系统。状态方程描述了系统内部变量与外部控制作用的关系；输出方程描述了系统内部状态变量与输出变量之间的关系。由此可知，状态

2、空间描述从本质上提示了系统输入输出关系与内部结构的内在联系，这为深入研究系统内部结构提供了可能性。更为重要的是60年代初期卡尔曼提出了能控性和能观测性概念。所谓能控性，是指外加控制作用u(t)对受控系统的状态变量x(t)和输出变量y(t)的支配能力，它回答了u(t)能否使x(t)和y(t)作任意转移的问题。所谓能观测性，是指由系统的量测输出向量y(t)识别状态向量x(t)的测辨能力，它回答了能否通过y(t)的量测值来识别x(t)的问题。当给定了初始状态x(t)以及控制作用u(t)后，系统在任何时刻

3、的状态x(t)就唯0一地确定下来。对于给定的系统，当外加控制及作用点确定之后，有些状态分量能受外加控制作用u(t)的控制，有些状态分量可能不受u(t)的控制。能受u(t)控制的状态称为能控状态，不能受u(t)控制的状态称不能控状态。同样，对于给定的系统，有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态不能通过y(t)确定下来。能够通过y(t)而确定下来的状态称为能观状态，不能通过y(t)而确定下来的状态称为不能观状态。设计一个线性系统，总是希望所施加的控制u(t)能完全控制系统的运动状态，而不希望出

4、现失控现象。同时也希望通过y(t)能完全确定系统的运动状态，以便实现状态反馈控制。总之，能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。二对能控性和能观测性的直观讨论系统u1黑箱y1u2y1MMM状态Munx1,x2,L,xnyn每一个状态变量x1,x2,L,xn运动都可由输入u(t)来影响和控制，而由任意的始点达到原点——状态能控。状态x1,x2,L,xn的任意形式的

5、运动均可由输出完全反映——状态能观测。如1系统状态空间描述为：x&1=40x1+1ux&20-5x22[]x1y=0-6x2x&1=4x1+u标量方程组形式为:x&2=-5x2+2uy=-6x2表示x1,x2可通过选择u而由始点达到原点,系统为完全能控.但y只反映x2,而x1与y无直接也无间接关系,系统为不完全能观测.如2++RcRx(t0)=0,x不受u(t)控制.u(t)+•

6、

7、-yu(t)=0,y(t)=0,x不能由y(t

8、)反馈.x-RR是状态不能控不能观-+c+

9、

10、Ru(t)能将x1或x2转移到任意目标,x1u(t)-+但不能分别转移到任意目标.Rc

11、

12、x.-2为不完全给控-R1L®i+xy若u(t)=0,x1(t0)=x2(t0)为任意值,+1R1必定有:i=0.对t³t0y(t)=0u(t)=0R2y(t)不能反映电路状态运动.-Lx2不完全能观测.三能控性定义：考虑线性时变系统的状态方程：∑:x&=A(t)x+B(t)utÎJ(1)其中:x为n维状态向量,u为p维输入向量,J为时间定义区间,A,B分别为n´

13、n和n´p的元为t的连续函数矩阵.定义1:对于(1)的线性时变系统∑,如果对取定初始时刻tÎJ的一个非零初始0状态x,存在一个时刻tÎJ,t>t和一个无约束的容许控制u(t),tÎ[]t,t,011001使状态由x转移到t时x(t)=0,则称此x是在t时刻为能控的.01100定义2:对于(1)的线性时变系统∑,如果状态空间中的所有非零状态都是在t(tÎJ)时刻为能控的,则称系统∑在时刻t是完全能控的.000定义3:对于(1)的线性时变系统∑,取定初始时刻tÎJ,如果状态空间中存在一0个或一些非零状

14、态在t时刻是不能控的,则称系统∑在时刻t是不完全能00控的.从上述定义看出：（1）状态转移的轨迹没加以限制和规定；（2）输入的每个分量的幅值不加以限制，但要求所有分量均是在J上平方可积的。（3）上述定义是对J中的一个取定时刻t0来定义的，对时变系统，能控性与t0有关，而对定常系统，能控与否与t0无关。（4）由非零状态转移到零状态，为状态能控。如若由非零状态转移到非零状态，则为状态能达的。对线性定常系统能控性和能达性是等价的，但对时变和离散系统，则是不等价的。（5）系统为不完全能控的