线性系统的能控性和能观测性

《线性系统的能控性和能观测性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章线性系统的能控性和能观测性4．1能控性和能观测性的定义能控性和能观测性是从控制和观测角度表征系统结构的两个基本特性。不完全能控但能观测不能控不能观测电路状态能控性，能达性定义对连续时间线性时变系统如果存在一个时刻以及一个无约束的容许控制u(t),使系统状态由x(t0)=x0转移到x(t1)=0，则称非零状态X0在t0时刻为能控。如果存在一个时刻t1∈J,t1>t0,以及一个无约束的容许控制u(t),t∈[t0,t1],使系统状态由x(t0)=0转移到x(t1)=xf≠0,则称非零状态xf在t0时刻为能达。注意：对连续时间线性时不

2、变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性系统和线性时变系统，若系统矩阵G为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间线性时变系统，能控性和能达性一般为不等价。定义：对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中所有非零状态在时刻t0∈J都为能控/能达，称系统在时刻t0为完全能控/能达。定义：对连续时间线性时变系统和指定初始时刻t0∈J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时刻t0∈J为不能控/能达，称系统在时刻t0为不完全能控/能达。定义：若系统的能控/能达性与初始时刻t0的选取无关，或系统在任意初始时刻t

3、0∈J均为完全能控/能达，则称系统为一致完全能控/能达。注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能控/能达的概率几乎等于1。系统能控性，能达性定义能观测性定义和指定初始时刻t0∈J,如果存在一个时刻t1∈J，t1>t0，使系统以x(t0)=x0为初始状态的输出y(t)恒为零，即y(t)≡0，t∈[t0,t1]，则称非零状态x0在时刻t0为不能观测；对连续时间线性时变系统如果状态空间中所有非零状态在时刻t0都不为不能观测，则称系统在时刻t0为完全能观测；如果状态空间中存在一个非零状态或一个非零状态集合在时刻t0为不能观测，则称系统在时刻t

4、0为不完全能观测；如果系统对任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始时刻t0的选取无关，则称系统为一致完全能观测。该系统是不完全能观测的由于可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的。注：从工程实际角度考虑，一个实际系统为能观测的概率几乎等于1。其解为；4．2连续时间线性系统的能控性判据结论1：(格拉姆矩阵判据)线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格拉姆矩阵为非奇异矩阵。证明：充分性为非奇异时，系统能控说明系统是能控的。必要性证明采用反证法，自阅。由于时变系统状态转移矩阵求解困难，故能控性格拉姆

5、矩阵判据的意义主要在于理论分析中的应用。结论3：n维连续时间线性时变系统设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义则系统在时刻t0∈J完全能控的一个充分条件为，存在一个有限时刻t1∈J，t1>t0，,使能控性秩判据结论2：连续时间线性时不变系统：完全能控的充分必要条件是，存在时刻t1>0，使格拉姆矩阵为非奇异。(格拉姆矩阵判据)主要在于理论分析和推导中的应用。结论4（能控性秩判据）对n维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性判别矩阵满秩，即rankQc=n结论5（能控性PBH秩判据）n维连续时间线性时不变系统

6、完全能控的充分必要条件为：rank[sI-A，B]=n,sCC为复数域或rank[iI-A，B]=n，i为系统特征值结论6：（能控性PBH特征向量判据）n维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵A不存在与B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵A所有特征值i，使同时满足TA=iT，TB=0的左特征向量T=0。主要在于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中。结论7：（约当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能控的充分必要条件是B中不包含零行向量。结论8：（约

7、当规范型判据）对n维线性时不变系统，若A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：①特征值互异的约当块最后一行对应的B阵中，该行元素不全为零。②特征值相同的各约当块最后一行对应的B阵各行向量线性无关。注：1.能控性PBH特征向量判据主要用于理论分析中，特别是线性时不变系统的复频域分析中。2.状态向量的线性非奇异变换不改变系统的能控性。例图示电路，判断系统能控性条件解选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：即（R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。例系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}

8、线性无关以及{bl21}不为零向量。系统能控当k＝n时，Qk为能控性判别矩阵。对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：＝使“rankQk=n”成立的最小正整数k。结论9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系