高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系互动课堂学案新人教a版选修4-4

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1、一　平面直角坐标系互动课堂重难突破本课时的重点是坐标法思想与坐标伸缩变换,难点是怎样建立适当的坐标系及注意问题,对坐标伸缩变换的理解与应用.一、坐标法思想1.坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化成代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的方法.它是解析几何中最基本的研究方法.例如在平面直角坐标系中，根据确定直线位置的几何要素，我们可以探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系.在空间坐标系中，通过高次方程的计算，使人们对一些星体的轨迹运动和变化规律有所了解

2、和掌握.2.坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系等.对于不同类型的几何图形，选用相应的坐标系可以使建立的方程更加简单.如要确定体育馆内一个位置，建立柱坐标系就比较适合，通过柱坐标我们可以比较精确地找到这个位置的所在地.3.“坐标法”应贯穿解析几何教学的始终，帮助同学们不断地体会“数形结

3、合”的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点.在通过代数方法研究几何对象的位置以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到数学结论，对结论进行代数证明，即用解析方法解决某些代数问题，不应割断它们之间的联系.4.平面直角坐标系是解析几何的基础,同学们应在已有知识的基础上做好自我完善,从解决问题中提高学习兴趣,激发学习的积极性和主动性,养成不断探求知识、完善自我的良好个性品质.进一步理解平面直角坐标系在对实际问题的解决中的重要作用,会用平面直角坐标系解决实际问

4、题.二、用数学知识和方法解决实际问题1.教材中从实际问题引入数学方法，逐步把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法加以解决.如：利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在的双曲线的方程，此时还不能确定爆炸点的准确位置.再增设一个观测点C，利用B、C两处测得的爆炸声的时间相同，可以求出一条直线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.2.存在的问题:把实际问题归结为数学模型是需要一定功底的，而我们普遍存在着一些问题：(1)不喜欢应用性问题中烦琐的文字叙述，不

5、愿读下去，勉强读完也弄不清题意;(2)学过的概念、公式、方法到解题时用不上，找不到数学关系式，思路不清，容易混淆;(3)平时学习中对应用性问题接触太少，所以学习感到困难，不知如何下手，也不愿多做，导致心理上不愿学等等.我们应注意运用数学方法、思想、观点去观察和分析各种实际问题，从中抽象出数学知识和数学规律，建立数学模型，并运用数学知识进行正确的运算和推理.3.要善于在普通语言中寻找数量关系，找出哪些是已知量，哪些是未知量，哪些是直接未知量，哪些是间接未知量，用数学语言把这些数量关系表示出来.4.化实

6、际问题为数学模型，一方面要深入分析实际问题中的空间形式和各种数量关系，另一方面在学习数学理论的过程中，要仔细体会和寻求这些理论对解决实际问题的指导作用，努力把它应用于现实世界，以解决人们迫切需要解决的实际问题.5三、平面直角坐标系中的坐标伸缩变换1.设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P＇(x＇,y＇),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩

7、变换来表示.3.坐标伸缩变换与我们前面学的坐标变换之间的关系.两者都是将平面图形进行伸缩平移的变换.实质是一样的.比如正弦曲线经过这两种变换后，所得图形的形状是没有改变的.在一定的变换规律下椭圆能够变成椭圆，也能够变成圆.只是说法上和认识上的一点不同.我们结合函数y=Asin(ωx+φ)的图象的形成过程(与y=Acos(ωx+φ)相类似)，看看在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况吧.函数y=sinωx,x∈R（其中ω>0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（当ω>1

8、时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持纵坐标不变，将x轴进行压缩或伸长.函数y=Asinx,x∈R（其中A>0,ω≠1）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）而得到.平面直角坐标系伸缩变换认为是一个坐标伸缩过程：保持横坐标不变，将y轴进行压缩或伸长.由此看出，两者只是说法上的不同，本质上是一样的.另外，我们