高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系学案 新人教a版选修4-4

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1、一 平面直角坐标系1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.2.通过具体例子,了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况.1.平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用:使平面上的点与________________、曲线与______建立了联系,从而实现了________的结合.(2)坐标法:根据几何对象的______,选择适当的坐标系,建立它的______,通过______研究__________及____________________.(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”:第一步:建立适当坐标系,用坐

2、标和方程表示问题中涉及的______元素,将几何问题转化成______问题;第二步:通过代数运算,解决代数问题;第三步,把代数运算结果“翻译”成几何结论.【做一做1-1】已知平面内三点A(2,2),B(1,3),C(7,x),且满足⊥,则x的值为(  ).A.3B.6C.7D.9【做一做1-2】设平行四边形ABCD的顶点为A(0,0),B(0,b),C(a,c),则第四个顶点D的坐标是(  ).A.(a,b+c)B.(-a,b+c)C.(a,c-b)D.(-a,b-c)【做一做1-3】已知平行四边形ABCD,求证:AC2+B

3、D2=2(AB2+AD2)2.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形,那么平面图形的伸缩变换就可归结为______伸缩变换,这就是用__________研究______变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换________________的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.【做一做2-1】如何由正弦曲线y=sinx经伸缩变换得到y=sinx的图象(  ).A.将横坐标压缩为原来的,

4、纵坐标也压缩为原来的B.将横坐标压缩为原来的,纵坐标伸长为原来的2倍C.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标也伸长为原来的2倍D.将横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标压缩为原来的【做一做2-2】将正弦曲线y=sinx作如下变换:得到的曲线方程为(  ).A.y′=3sinx′B.y′=sin2x′C.y′=sin2x′D.y′=3sin2x′答案:1.(1)坐标(有序实数对) 方程 数与形(2)特征 方程 方程 它的性质 与其他几何图形的关系(3)几何 代数【做一做1-1】 C =(1,-1),=(5,x-2),∵⊥,∴·=5-(x

5、-2)=0.∴x=7.【做一做1-2】 C 设D(x,y),由题意,=,即(0,b)=(a-x,c-y),∴x=a,y=c-b.∴顶点D的坐标为(a,c-b).【做一做1-3】 证明:以边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,则A(0,0).设B(a,0),C(b,c),则由对称性知D(b-a,c),∴AB2=a2,AD2=(b-a)2+c2,AC2=b2+c2,BD2=(b-2a)2+c2.∵AC2+BD2=4a2+2b2+2c2-4ab=2(2a2+b2+c2-2ab),而AB2+AD2=2a2+b2+c2-2

6、ab,∴AC2+BD2=2(AB2+AD2).2.(1)坐标 代数方法 几何(2)φ:【做一做2-1】 D【做一做2-2】 D建立平面直角坐标系的方法剖析:一般情况下,有如下建立平面直角坐标系的方法:(1)当题目中有两条互相垂直的直线时,以这两条直线为坐标轴,建立平面直角坐标系;(2)当题目中有轴对称图形时,以轴对称图形的对称轴为坐标轴,建立平面直角坐标系;(3)当题目中有已知长度的线段时,以线段所在的直线为x轴,以端点或中点为原点,建立平面直角坐标系.在建立平面直角坐标系时,应使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上.平面直角坐

7、标系建立完后,需仔细分析曲线的特征,注意揭示隐含条件.题型一用平面直角坐标系解决实际问题【例1】如图所示,A,B,C是三个观察站,A在B的正东,两地相距6km,C在B的北偏西30°,两地相距4km,在某一时刻,A观察站发现某种信号,并知道该信号的传播速度为1km/s,4s后B,C两个观察站同时发现这种信号,在以过A,B两点的直线为x轴,以AB的垂直平分线为y轴建立的平面直角坐标系中,指出发出这种信号的P的坐标.分析:由题意可知,点P所在的位置满足两个条件:(1)在线段BC的垂直平分线上,(2)在以A,B为焦点的双曲线上.反思

8、:合理建立坐标系是我们解决此类问题的关键,如果坐标系建立得合理,可以简化我们的计算,并且使问题的结论清晰明了、具体形象,反之,将会带来计算的繁琐,结果也不明确.题型二平面直角坐标系下的轨迹问题【例2】△ABC的顶点A固定,点A的对边BC的长是2a,边BC上的高的长是b,边BC沿一条直线移动

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