高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系成长训练新人教a版选修4-4

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1、一平面直角坐标系主动成长夯基达标1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线2x＇2+8y＇2=1，则曲线C的方程为(　　)A.50x2+72y2=1B.9x2+100y2=1C.25x2+36y2=1D.解析:将代入曲线方程2x′2+8y′2=1,得2·(5x)2+8·(3y)2=1,即50x2+72y2=1.答案:A2.将曲线x2+y2=1伸缩变换为的伸缩变换公式为(　　)A.B.C.D.解析:设伸缩变换为代入=1得=1与x2+y2=1比较,得λ2=4,μ2=9.∴λ=2,μ=3.答案:A83.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1

2、)5x+2y=0;(2)x2+y2=1.解:(1)由伸缩变换得到①将①代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′+3y′=0.经过伸缩变换后,直线仍然变成直线.(2)将①代入x2+y2=1,得到经过伸缩变换后的图形的方程是=1.经过伸缩变换后,圆可以变成椭圆.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x2-36y2-8x+12=0变成曲线x＇2-y＇2-4x＇+3=0，求满足图象变换的伸缩变换.解:设伸缩变换为将其代入方程x′2-y′2-4x′+3=0得λ2x2-μ2y2-4λx+3=0.与方程x2-36y2-8x+12=0比较系数得∴λ=,μ=3.∴伸缩变换为x′=5.△ABC

3、中，若BC的长度为4，中线AD的长为3，则A点的轨迹方程是________.解析:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(-2,0),C(2,0).设A(x,y),则D(0,0),

4、AD

5、=3.∴x2+y2=9(y≠0).答案:x2+y2=9(y≠0)6.在气象台A正西方向300千米处有一台风中心,它以每小时40千米的速度向东北方向移动,距台风中心250千米以内的地方都要受其影响.问:从现在起,大约多长时间后,气象台A所在地将遭受台风影响持续多长时间?解析:8本题的解决如果从题意上考虑,较难入手解决,我们可以考虑通过建立平面直角坐标系来解决.解:如图所

6、示,以气象台为坐标原点,正东方向为x轴正方向,建立直角坐标系.则现在台风中心B的坐标为(-300,0).根据题意,可知,t小时后,B1的坐标为(-300+40tcos45°,40tsin45°),即(-300+20t,20t),因为以台风中心为圆心,以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响,所以B1在圆上或圆内时,气象台将受台风影响.所以令

7、AB1

8、≤250,即(-300+20t)2+(20t)2≤2502,整理得16t2-120t+275≤0.解得1.99≤t≤8.61.故大约2小时后,气象台A所在地将遭受台风影响,大约持续6个半小时.7.如图,已知A、B、C是直线m上的三点，

9、且

10、AB

11、=

12、BC

13、=6，⊙O＇切直线m于点A，又过B、C作⊙O＇异于m的两切线，切点分别为D、E，设两切线交于点P，（1）求点P的轨迹方程;（2）经过点C的直线l与点P的轨迹交于M、N两点，且点C分所成的比等于2∶3，求直线l的方程.解析:先根据圆切线的定义,可得到点P的轨迹是椭圆,然后建立适当的坐标系求出点P的轨迹方程来；根据定比分点坐标公式,找出相关点的坐标来,列出方程组求出点M、N的坐标,从而求出直线方程.解:（1）∵

14、PE

15、=

16、PD

17、,

18、BD

19、=

20、BA

21、,

22、CE

23、=

24、CA

25、,∴

26、PB

27、+

28、PC

29、=

30、PD

31、+

32、DB

33、+

34、CE

35、-

36、PE

37、=

38、BD

39、+

40、CE

41、=

42、AB

43、+

44、CA

45、=1

46、8＞6=

47、BC

48、,∴P点轨迹是以B、C为焦点,长轴长等于18的椭圆.以B、C两点所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,则可设椭圆的方程是=1(a＞b＞0).∵a=9,c=3,∴b2=72.8∴P点的轨迹方程是=1(y≠0).（2）设M(x1,y1)、N(x2,y2),∵C(3,0)分MN所成的比为,由①②消去y2,得(5-x2)2+(1-)=1,解得x2=-3,y2=±8,即N(-3,±8).∴由C、N可得直线的方程是4x+3y-12=0或4x-3y-12=0.8.如右图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22m，要求通行车辆限高4.5m，隧道全长2.5km，隧

49、道的拱线近似地看成半个椭圆形状.（1）若最大拱高h为6m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh，柱体体积为底面积乘以高.结果精确到0.1m）解析:当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.解:（1）如图建立坐标系,则点P(