微管在弹性介质中的波的传播.doc

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1、微管在弹性介质中的波的传播钱小三，张俊乾上海大学上海市应用数学与力学研究所，200072摘要从理论上分析了微管作为正交各向异性圆柱壳模型在弹性介质中的波的传播特性，弹性介质通过Winkler模型描述对微管的作用，利用数值计算方法得到了弹性介质与微管的结合增大了微管的波传播波速，从而增大了微管的固有频率。关键词：微管，弹性介质，波的传播，弹性壳作者E-mail:jqzhang@mail.shu.edu.cn引言微管存在与几乎所有的细胞中，作用非常大，它是细胞骨架的主要组成之一，而细胞骨架与疾病密切相关。微管为一中空圆柱状结构内径约15nm,外径约25nm，管壁厚约6－9nm，长度不确定。由

2、二聚体螺旋盘绕装配成微管的壁,13个二聚体围成一周，故在切面下可见微管由13个原纤维构成[1,2]。微管的力学特性与微管在细胞中的作用密切相关如细胞分裂，细胞运动，细胞运输[3,4]。微管的力学特性是人们研究的热点，特别是微管的振动，波的传播[5-10]，以及动力不稳定性[11,14]。文献主要讨论了微管中波的传播和振动使用了正交各向异性圆柱壳[12,20]，文献对微管在水中的波的传播[5]。但是对于弹性介质中的微管中的波的传播比较缺乏，本文基于上述文献的基础上，利用正交圆柱壳模型，对微管在弹性介质中的波的传播特性进行了分析。利用数值计算方法得到了弹性介质刚度增大了微管中波的传播速度以及

3、固有频率。理论分析正交各向异性圆柱壳体运动方程和Winkler模型进来试验证实了微管呈现各向异性特性[7-10]，对于正交各向异性壳有四个独立的材料常数，分别是轴向弹性模量，环向模量，剪切模量，轴向泊松比且满足关系式[13-15]，微管的材料常数从文献[12]可以得到。平均等价厚度有效厚度[5,11]，微管拉伸刚度，微管弯曲刚度，且,，，,微管作为正交各向异性圆柱壳，在弹性介质中的运动方程为[12,20]：（1）式中=12.8nm是微管平均半径，u，v，w分别是轴向、环向、径向位移，是微管密度[15]，，，，，为轴向声速。参数，=(1-)/2，其中分别是外界弹性体对微管作用的轴向，环向，

4、径向载荷，运用Winkler模型假设的表示形式如下[16,19]：（2）式中弹簧常数且与弹性体有关。范德华力作用系数有下式给出[5,16,19]：轴对称波轴对称情况下微管中波的传播，考虑其解的形式为：（3）式中常数U,V,W分别表示轴向，环向和径向振幅，轴向波向量，c波速。将（2），（3）代入运动方程（1）得：（4）其中无量纲波向量，将上式写成下列形式：因为U,V,W有非零解，所以系数矩阵的行列式为0即：（5）解方程(5)，微管看成正交各向同性壳,，，，[17,18]，结果如图1所示，微管看成正交各向异性圆柱壳，，，，[17,18]，结果如图2所示。非轴对称波非轴对称下微管中波的传播（n

5、>=1），考虑其解的形式为：（6）将（2），（6）代入运动方程（1）得：（7）将上式写成下列形式：同理系数矩阵的行列式为0即：（8）解方程（8），且，，，，[17,18]，微管为正交各向异性时，波速计算结果如图3所示。计算结果及讨论首先，从图1，2可知对于各向同性壳[5]和正交各向异性壳模型[12,20]，周对称径向波速随着波向量K的增大而减小，但K比较大时波速又增大，波速在K＝10时波速达到最小值，分别是306m/s和292m/s，和文献相比，弹性体明显增大了波的传播速度和推迟了最小值的到来。轴向波在波长较长时随着K的增大而减小，但K=3趋于稳定,传播不在依赖于K。扭转波的波速在K＞0

6、.1时，不再随波向量的大小而改变，且正交各向异性的波速要小于各向同性的波速，主要是剪切模量的数量级小引起的，图1，2的结果与[5,12,20]的结果比较一致。其次，从图3可知在K＜1时，三种波速都随着K的增大而减小而且三者波速相等，第二种波波速在K=10时波速最小约为29m/s，与文献[20]相比波的传播波速明显变快，引起的原因主要是周围弹性介质对微管的作用相当于增强了微管的刚度，从而波速增大，固有频率也增大。结论运用正交各向异性壳模型研究了微管在弹性介质中的传播特性，从计算结果可知第二种波都是在K=10是波传播最慢，第三种波传播要明显慢于另外两种波。周围弹性体对波的传播影响较大，明显增

7、大了微管中波传播的波速，从而增大了微管的固有频率。图2各向同性圆柱壳轴对称下波的传播图3正交各向异性圆柱壳轴对称下波的传播图1微管处于弹性介质中图4正交各向异性圆柱壳非轴对称下波的传播参考文献1.M.SchliwaandG.Woehlke,Nature422,759-765(2003).2.N.J.CarterandR.A.Cross,Nature435,308-312(2005).3.C.J.Brokaw,Mathematical