磁电弹性结构自由振动的有限元仿真.doc

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1、磁电弹性结构自由振动的有限元仿真冯岩郑世杰南京航空航天大学智能材料与结构航空科技重点实验室南京210016摘要：对磁电弹性材料力、电、磁三场耦合问题进行了研究，利用假定自然应变法和加强假定应变法，推导出用于磁电弹性结构自由振动分析的固体壳单元，该单元克服了普通壳单元用于磁电弹性薄板、壳结构分析时过高估计剪切应变能的缺陷，并且能模拟磁电弹性曲壳的力学响应。本文仿真结果和现有结果表明了磁电弹性固体壳单元的合理性、有效性。关键词：磁电弹性材料；固体壳；自由振动；有限元1引言近年来，磁电弹性材料由于其特有的材料性质

2、受到了广泛的关注，这种材料能实现磁能、电能、机械能彼此之间的转换，因此在智能结构和电子信息领域得到广泛的应用。对于磁电弹性结构的自由振动问题，目前许多学者都致力于解析解、半解析解的研究[1－4]，很少涉及到问题的数值解，对于绝大部分实际结构来说，由于边界条件等的复杂性，仅仅通过解析解来研究磁电弹性结构的力、电、磁耦合特性是远远不够的。为了研究更为复杂的工程结构，寻求有效的数值解是非常必要的。在公开的文献中，仅见Annigeri等[5]用有限元法解决磁电弹性梁的自由振动问题，尚未见磁电弹性壳结构自由振动有限元

3、分析的报道。本文基于假定自然应变法和加强假定应变法，建立了一种新的磁电弹性固体壳单元，该单元继承了固体壳单元的优点，它克服了普通壳单元用于磁电弹性薄板、壳结构分析时过高估计剪切应变能的缺陷，并且能模拟磁电弹性曲壳的力学响应，用于复杂磁电弹性结构分析时，不需要为处理平动和转动自由度的连接而使用过渡性单元或定义额外的代数约束方程，是一种合理有效的磁电弹性壳单元。2基本方程和有限元列式对于三维各项异性磁电弹性介质的线性本构方程可以表示为如下形式[1]（1）上式中、和分别为应变、电位移和磁感应强度分量。、和分别为应

4、变、电场强度和磁场强度分量。、和分别为弹性刚度系数，介电常数和磁导率，、和分别为压电、压磁和磁电系数。本文的磁电弹性固体壳单元采用以下坐标、位移形式：（2）（3）（4）上式中Ni是二维插值函数，X、U分别是单元内任意一点的坐标向量和位移向量，Xe、Ue则是单元节点坐标向量和单元节点位移向量。由应变定义可以得到等参坐标下的应变：,,,（5）,（6）为克服横向剪切自锁、梯形自锁和厚度自锁，分别引入假定自然应变模式和加强假定应变模式[7]：（7）（8）（9）（10）其中，在假定应变基础上增加一个线性分布的横向应变

5、得到新应变，用、、代替原有应变的相应项，本文采用的壳体单元，材料性质参数定义在局部坐标中，因此需将等参坐标系中的应变转换到局部坐标系中，假定局部坐标系为（xyz），局部坐标系的z轴正交于壳体中面：（11）其中为坐标转换矩阵[6]。本文采用的磁电弹性八节点固体壳单元每个单元有八个电自由度和八个磁自由度，分别位于壳单元的每个节点上，则单元内任意一点的电场强度和磁场强度可以表示为：（12）（13）Ni是三维插值函数，其中为坐标转换矩阵。三维磁电弹性介质的变分表达式为[3]：（14）将（11）（12）代入（14）并

6、用变分原理导出有限元方程[3]：（15）将式（15）静态凝聚电、磁自由度可以得到自由振动方程：（16）为了研究磁电弹性材料的各个参数对自由振动的影响，在静态凝聚过程中令不需要的参数为零，则得到相应的刚度矩阵[4]，[Kuu]是凝聚过程中只考虑力学量影响的刚度矩阵；[Keq]是凝聚过程中考虑力、电、磁三场耦合的刚度矩阵；[Keq_reduced]是凝聚过程中忽略磁电耦合项的刚度矩阵；[Keq_ff]是凝聚过程中只考虑电相关量影响的刚度矩阵；[Keq_yy]是凝聚过程中只考虑磁相关量影响的刚度矩阵。3数值算例3

7、.1合理性验证一磁电弹性悬臂梁，长a＝0.3m，宽b＝0.02m，厚度h＝0.005m，其他材料参数与文[5]相同，网格划分为60×4×1，即长度方向60个单元，宽度方向4个单元，厚度方向1个单元。fuu、feq、feq_reduced、feq_yy、feq_ff分别是用[Kuu]、[Keq]、[Keq_reduced]、[Keq_yy]、[Keq_ff]计算出的系统自由振动的频率，本文单元的计算结果与文[5]中四节点平面单元计算结果的对比如表1所示，二者吻合较好。表1BaTiO3体积含量为60％的磁电弹性

8、梁计算结果对比一阶频率二阶频率三阶频率四阶频率五阶频率(a)四节点平面单元计算结果（Hz）167.081026.712791.803828.245261.76169.971043.672835.363902.015337.23(b)磁电弹性固体壳单元计算结果（Hz）164.771012.822787.373832.645195.07167.241027.402817.053893.935259.623.2磁电弹性