18-2隐函数组.doc

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1、§2隐函数组(一)教学目的：掌握隐函数组存在的条件，学会隐函数组求导法．(二)教学内容：隐函数组的定义；隐函数组定理；反函数组的定义与求导法．基本要求：(1)掌握隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法．(2)较高要求：理解隐函数组和反函数组定理的证明．(三)教学建议：(1)要求学生熟记隐函数组和反函数组存在的条件，学会隐函数组和反函数组求导法．(2)隐函数组和反函数组定理的证明较为繁复，对一般学生可不作要求．————————————————————一．隐函数组概念从四个未知数两个方程的方程组入

2、手介绍隐函数组，一般形式为　　（1）定义（隐函数）若存在平面区域D，对于D中每一点分别有区间上唯一的一对，它们与一起满足方程组则称方程组（1）确定了两个定义在上，值域分别落在J和K内的隐函数。二.隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出和的条件入手,对方程组*在一定条件下拟线性化,分析可解出和的条件,得出以下定理.定理18.4(隐函数组定理)若i）在为内点的区域内连续；ii）在V内F，G具有一阶连续偏导数；iii）；iv），则在P的某一邻域内，方程组唯一确定两个在的某邻域内的二元隐函数组使得：1），2）在内连续；

3、3）在内又一阶连续偏导数例1讨论方程组在点近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数F=sym('[u^2+v^2-x^2-y;u+v-x^2+y]');U=sym('[u;v]');X=sym('[x;y]');v=sym('[x;v]');v1=sym('[y;v]');u=sym('[u;x]');u1=sym('[u;y]');F1=det(jacobian(F,U));F2=det(jacobian(F,X));G1=det(jacobian(F,v));G2=det(jacobian(F,v1));G3=

4、det(jacobian(F,u));G4=det(jacobian(F,u1));ux=-(symdiv(G1,F1));uy=-(symdiv(G2,F1));vx=-(symdiv(G3,F1));vy=-(symdiv(G4,F1));ux=simplify(ux)，uy=simplify(uy)vx=simplify(vx)，vy=simplify(vy)[ux,uy;vx,vy]ux=x*(-1+2*v)/(-u+v)uy=-1/2*(1+2*v)/(-u+v)vx=-x*(2*u-1)/(-u+v)

5、vy=1/2*(2*u+1)/(-u+v)ans=[x*(-1+2*v)/(-u+v),-1/2*(1+2*v)/(-u+v)][-x*(2*u-1)/(-u+v),1/2*(2*u+1)/(-u+v)]三反函数组与坐标变换定理18.5（反函数组定理）设函数组及其一阶偏导数在某区域上连续，点是D的内点，且则在点的某邻域内存在唯一的一组反函数使得且当时，有例2直角坐标与极坐标之间的变换为由于所以除原点外，在一切点上都能确定出反函数组例3直角坐标与球坐标变换其Jacobian行列式为F=sym('[r*sin(t)*

6、cos(w);r*sin(t)*sin(w);r*cos(t)]');v=sym('[r;t;w]');simplify(det(jacobian(F,v)))ans=sin(t)*r^2所以在的一切点，可唯一确定出的函数