资源描述：
《数学分析18.2隐函数定理及其应用之隐函数组.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十八章隐函数定理及其定理1隐函数组一、隐函数组的概念设方程组,其中F,G为定义在V⊂R4上的四元函数.若存在平面区域D,E⊂R2,对于D中每一点(x,y),有唯一的(u,v)∈E,使得(x,y,u,v)∈V,且满足该方程组，则称由该方程组确定了隐函数组：,(x,y)∈D,(u,v)∈E,并有,(x,y)∈D.二、隐函数组定理分析：设概念中的F,G,u,v都可微，分别对x,y求偏导数可得：和,解出ux,vx,uy,vy的充分条件是≠0，也可记作：≠0,即函数F,G关于变量u,v的函数行列式(或称雅可比行列式)不为0.定理18.4：(隐函数组定理)若(1)F(x,y,u,v)与G(x,y,
2、u,v)在以P0(x0,y0,u0,v0)为内点区域V⊂R4上连续；(2)F(x0,y0,u0,v0)=0,G(x0,y0,u0,v0)=0(初始条件)；(3)在V上F,G具有一阶连续偏导数；(4)J=在点P0不等于0，则1、存在点P0的某一(四维空间)邻域U(P0)⊂V，在U(P0)上方程组惟一地确定了一个定义在点Q0(x0,y0)的某一(二维空间)邻域U(Q0)的两个二元隐函数u=f(x,y),v=g(x,y)使得当(x,y)∈U(Q0)时，u0=f(x0,y0),v0=g(x0,y0)；(x,y,f(x,y),g(x,y))∈U(P0),且F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡
3、0,G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0；2、f(x,y),g(x,y)在U(Q0)上连续；3、f(x,y),g(x,y)在U(Q0)上有一阶连续偏导数，且=-,=-;=-,=-.例1：讨论方程组在点P0(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数组，并任求一组隐函数组的偏导数.解：F,G在R4上连续，F(2,1,1,2)=0,G(2,1,1,2)=0.求F,G的所有偏导数得：Fu=2u,Fv=2v,Fx=-2x,Fy=2v,Gu=-1,Gv=1,Gx=-y,Gy=-x.∵在P0处的所有六个雅可比行列式中，仅=0.∴只有x,v难以肯定能否作为以y,u为自变量的隐函数，其余任两个变量都
4、可在P0近旁作为以另两个变量为自变量的隐函数.对原方程组分别求关于u,v的偏导数，得;，解得xu=,yu=-;xv=,yv=-.例2：设函数f(x,y),g(x,y)具有连续偏导数，而u=u(x,y),v=v(x,y)是由方程组u=f(ux,v+y),g(u-x,v2y)=0确定的隐函数，试求,.解：记F=f(ux,v+y)-u,G=g(u-x,v2y),则有=;从而有Juv==2xyvf1g2-2yvg2+f2g1;Jxv==2yuvf1g2-f2g1;Juy==xv2f1g2-v2g2+f2g1.∴=-=;=-=.三、反函数组与坐标变换设函数组u=u(x,y),v=v(x,y)是定义
5、在xy平面点集B⊂R2上的两个函数,对每一点P(x,y)∈B,由方程组u=u(x,y),v=v(x,y)有uv平面上惟一的一点Q(u,v)∈R2与之对应，我们称方程组u=u(x,y),v=v(x,y)确定了B到R2的一个映射(变换)，记作T.这时映射T可写成如下函数形式：T：B→R2,P(x,y)↦Q(u,v)，或写成点函数形式Q=T(P),P∈B,并称Q(u,v)为映射T下P(x,y)的象，而P则是Q的原象.记B在映射T下的象集为B’=T(B).若T为一一映射(每一原象只对应一个象，且不同的原象对应不同的象),则每一点Q∈B’,由方程组u=u(x,y),v=v(x,y)都有惟一一点P∈
6、B与之相对应，由此产生新的映射称为T的逆映射(逆变换),记作T-1,有T-1：B’→B,Q↦P,或P=T-1(Q),Q∈B’,即存在定义在B’上的函数组：x=x(u,v),y=y(u,v)，把它代入原函数组，恒有u≡u(x(u,v),y(u,v)),v≡v(x(u,v),y(u,v)),这时称函数组x=x(u,v),y=y(u,v)为原函数组的反函数组.定理18.5：(反函数组定理)设函数组u=u(x,y),v=v(x,y)及其一阶偏导数在某区域D⊂R2上连续，点P0(x0,y0)是D的内点，且u0=u(x0,y0),v0=v(x0,y0),≠0,则在点P0’(u0,v0)的某一邻域U(
7、P0’)上存在惟一的一组反函数x=x(u,v),y=y(u,v)，使得x0=x(u0,v0),y0=y(u0,v0),且当(u,v)∈U(P0’)时，有(x(u,v),y(u,v))∈U(P0),及u≡u(x(u,v),y(u,v)),v≡v(x(u,v),y(u,v)).该反函数组在U(P0’)上存在连续的一阶偏导数，且=/,=-/;=/,=-/.即互为反函数组的雅可比行列式互为倒数.例3：平面上的点P的直角坐标(x,y)与极坐标
