数值分析练习题加答案(二)

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1、1.为了使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字？（5分）解、解：设有n位有效数字，由V20=4.4-..,知％=4令^(V20)<—xlO~(/?_,)=-xlO-(H_1)<0.1%2以

2、8取n=4,^(V2O)

3、(10)解：解:1-11-4''5-43-12"5-43-121-11-4211112111115-43-125-43-12•51〉n128厂2%》n131792u555u555d'5013一丄790一丄28555555回代得x3=-1,x2=6,x1=3q(2分)（8分）设法导出使雅可比（Jacobi）迭代法和高斯一赛德尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。解：raIA1—"21一100一11516r2<->r4>19-1-73-1一1100103［A

4、川一014-18r.Xl0+r2014-18-13-10

5、3__10-156因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯一赛德尔迭代法均收敛。（5分）雅可比迭代格式为：xm¥X}=-L(7x^)+^w)-10x；+10)"3(Z7Z=0,1,2,-)4，=^(k)+8)（2分）x(W+.)=I(_x(n0+x(，：)+6)高斯一赛德尔代格式为：W0=(7<)+f)_10<+10)^^+,)=1(^+1)+^°+3)'("2=0,1，2,…)X<-+')=i(_x(m+l)+x(w)+8)々+1)=丄(_%”+，)+6)5(3分)6、、取节点A=0,七=0.5，x2=l,求函数/（x）=e_x在

6、区间［0,1］上的二次插值多项式P2Cv），并估计误差。（8分）解:P2M=e-ox(x-0.5)(x-l)+^0.5x(x-O)(x-l)(0-0.5)(0-l)(0.5-0)(0.5-l)7、993用幂法求矩阵33o9按模最大的特征值及相应的特征向量，取(%—0)(x-0.5)(l-0)(l-0.5)2(x—0.5)(x—1)—4c—1)+2^fx(x—0.5)又/(x)=e~fx)=-e~M3=max

7、fx)=1JG[0，l]故截断误差R2M=e~x-P2(x)

8、<-

9、x(x-0.5)(x-l)

10、o3分^o=（U）7,精确至7

11、位有效数字。（10）「993解：幂法公式为=max(jJA=z'330.9=Jx-imkL取A=（l,1）列表如下:kTymkTX1(102,33.9)102(1,0.332353)2(99.997059,33.2991174)99.997059(1,0.3330009675)3(99.9990029,33.29970087)99.9990029(1,0.333000329)4(99.99900098,33.29970029)99.99900098(1,0.333000330)因为I州4I幺+Xl05,所以-99.99900098,v,=(1,0

12、.33300033/13、若/⑻=x7+?+3x+l,^[2°,2—,27]^j/[2°,21,—,28]解：由均差与导数关系/[巧，V…，n/(X)=X7+/+3x+1，/⑺⑺=7!，/(8)(X)=0于是/⑵乂…，■•8、用欧拉方法求j(x)=J"rdr在点x=0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。(8分)解：；yOO=£Xe_f2dZ等价于/=e^2y(0)=0(x>0)(2分)记/(义，y)=e'，取/；=0.5，xo==0.5,x2=1.0,x3=1.5,x4=2.0则由欧拉公式[>on=0,1,2,32分可得y(0.5)-=0

13、.5,y(1.0)=y2y(l-5)-y3=1.07334,;v(2.0)=y4-1.12604«0.88940>4分<400^9、己知A=011,求Mil,Ml-,ll^ll2、0-10、10分解：II111=4,l

14、A

15、L=4,(4分)■400"■400""1600"a7a=01一1011=0210100-1001116-2ArA-AE=00002—A1—(16-/!)(A**—3A+1)—011-A10、、^3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数），并求误差估计。（5分）解：feVdvT31-02x3[e°+2(e1/3+e2/3)+e

16、,]-l.7342,(x)=ex，,(x)=e'O

17、

18、/?l=

19、ex-r3

20、<至少有两位有效数