必修2第二章知识点和例题(含答案).doc

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1、2.1.1平面1.平面:平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念(不加定义的原始概念)。平面的基本特征是无限延展性。2.平面的画法及表示(1)平面的画法:平面通常画成平行四边形,平行四边形的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍,如图1。如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,我们常把它遮挡的部分用虚线画出来,如图2.图1图2(2)平面的表示法有如下几种:(1)在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字,如平面α、平面β、平面γ等,且字母通常写在平行四边形的一个

2、锐角内(图3);(2)用平行四边形的四个字母表示,如平面ABCD(图4);(3)用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC(图4).图3图43.点与平面的关系及其表示方法(平面内有无数个点,平面可以看成点的集合.)  点A在平面α内,记作:  点B在平面α外,记作:4.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内  符号表示为  作用:判断直线是否在平面内  公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.  符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有

3、且只有一个平面,使A∈α、B∈α、C∈α  作用:确定一个平面的依据.  3个推论:  推论1:经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面.  推论2:经过两条平行直线,有且只有一个平面.  推论3:经过两条相交直线,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.  符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L  作用:判定两个平面是否相交的依据课堂练习1.如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面?2求证:两两相交且不过同一个点

4、的三条直线必在同一平面内.3.在正方体中,(1)与是否在同一平面内?(2)点是否在同一平面内?(3)画出平面与平面的交线,平面与平面的交线.解:(1)在正方体中,∵,∴由公理2的推论可知,与可确定平面,∴与在同一平面内.(2)∵点不共线,由公理3可知,点可确定平面,∴点在同一平面内.(3)∵,,∴点平面,平面,又平面,平面,∴平面平面,同理平面平面.4.已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点,求证:P、Q、R三点共线.解:如图13,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,∴过A、B、C有

5、一个平面β.又∵AB∩α=P,且ABβ,∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,同理可证:Q∈l,R∈l,图13∴P、Q、R三点共线.2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系1.空间中两条直线的位置关系共面直线相交:同一平面内,有且只有一个公共点平行:同一平面内,没有公共点异面直线:不同在任何一个平面内,没有公共点2.异面直线(1)概念:不同在任何一个平面内的两条直线.(2)判断:下列各图中直线l与m是异面直线吗?(3)画法:用一个或两个平面衬托(4)辨析①空间中没有公共点的两条直线是异面直

6、线.②分别在两个不同平面内的两条直线是异面直线.③不同在某一平面内的两条直线是异面直线.④平面内的一条直线和平面外的一条直线是异面直线.⑤既不相交,又不平行的两条直线是异面直线.注意:判断异面直线的关键:既不相交,又不平行.3.公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设a、b、c是三条直线注:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间此性质都适用;公理4作用:判断空间两条直线平行的依据.4.异面直线所成的角(1)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

7、(2)异面直线a、b所成的角:在空间中任取一点O,过点O分别引a′∥a,b′∥b,则a′,b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.(3)异面直线所成的角的范围:,如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作.注:如果两条异面直线a,b所成的角为直角,我们就称这两条异面直线互相垂直,记为a⊥b;在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)。求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点→平移→定角→计算.课堂练习1.直线外一点可作无数条直线

8、与已知直线成异面直线?D1C1B1A1CABD12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)哪些棱所在的直线与直线BA1成异面直线?(2)求直线BA1和CC1所成的角的大小。(3)哪些棱所在的直线与直线A1B垂直.BCADEF3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD中点,且EF=5,又AD=6,BC=8.求AD与BC所成角的余弦值.4.如图中,正方体ABCD—A1B1C1D1,E、F分别是AD、AA1的中点.(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小;(2

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