第4讲导数及其应用(教师).doc

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1、专题1　函数与导数、不等式第4讲导数及其应用一．瞄准高考一、导数的几何意义f′(x0)是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程是y－f(x0)=f′(x0)(x－x0)．二、导数运算1．求导公式(1)C′=0(其中C为常数)；(2)(xn)′=nxn-1(n∈Q)；(3)(sinx)′=cosx；(4)(cosx)′=－sinx；(5)(lnx)′=,(logax)′=logae；(6)(ex)′=ex,(ax)′=axlna

2、.2．导数的四则运算法则(1)(u±v)′=u′±v′；(2)(uv)′=u′v＋uv′；(3)′=(v≠0)．三、导数的应用1．利用导数判断函数的单调性：在某个区间内,如果f′(x)>0(f′(x)<0),那么函数f(x)在这个区间内单调递增(减)；如果f(x)在某个区间内是增(减)函数,则导数f′(x)≥0(f′(x)≤0)．2．求函数的极值．使f′(x)=0的根x0不一定是极值点,还必须检验f′(x)在x=x0左右两侧的符号,若左正右负则有极大值,左负右正则有极小值．3．求函数的最值．连续

3、函数在闭区间[a,b]上必有最大值、最小值,先求出使方程f′(x)=0的所有点的函数值,再与端点函数值比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值．4．利用导数综合研究函数的性质、函数的零点、方程的根、构造函数证明不等式等问题．二．解析高考题型一　导数的几何意义例1(2010·湖北卷)设函数f(x)=x3－x2＋bx＋c,其中a＞0,曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1.(1)确定b、c的值；(2)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线

4、都过点(0,2),证明：当x1≠x2时,f′(x1)≠f′(x2)．【解答】(1)由f(x)=x3－x2＋bx＋c得f(0)=c,f′(x)=x2－ax＋b,f′(0)=b.又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f′(0)=0,故b=0,c=1.(2)f(x)=x3－x2＋1,f′(x)=x2－ax,由于点(t,f(t))处的切线方程为y－f(t)=f′(t)(x－t),而点(0,2)在切线上,所以2－f(t)=f′(t)(－t),化简得t3－t2＋1=

5、0,即t满足的方程为t3－t2＋1=0.下面用反证法证明假设f′(x1)=f′(x2),由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),则下列等式成立由(3)得x1＋x2=a,由(1)－(2)得x＋x1x2＋x=a2,(4)又x＋x1x2＋x=(x1＋x2)2－x1x2=x1－2＋a2≥a2,故由(4)得x1=,此时x2=与x1≠x2矛盾,所以f′(x1)≠f′(x2)．【点评】导数几何意义的应用要注意抓住两点：一是切点处的导数就是切线的斜率;切点坐标

6、同时适合曲线方程和切线方程．二是正确区分“过曲线上的点P的切线”与“曲线上的点P处的切线”两个不同的概念及相应不同的解法．在以后的解题中,同学们应尽量避免审题和解题失误,以不变应万变,真正达到活学活用的目的．【变式】已知直线l与函数f(x)=lnx的图象相切于点(1,0),且l与函数g(x)=x2＋mx＋(m<0)的图象也相切．则m的值为________．－2　【解析】∵f′(x)=,直线l是函数f(x)=lnx的图象在点(1,0)处的切线,∴其斜率为k=f′(1)=1,∴直线l的方程为y=x－

7、1.又因为直线l与g(x)的图象相切,由⇒x2＋(m－1)x＋=0,得Δ=(m－1)2－9=0⇒m=－2(m=4不合题意,舍去)．题型二　利用导数探究函数的单调性例2(2009·安徽卷)已知函数f(x)=x－＋a(2－lnx)a>0,讨论f(x)的单调性．【思维启迪】确定定义域→求导→对a进行分类讨论→确定f′(x)的正、负．【解答】　(1)f(x)的定义域是(0,＋∞),导函数f′(x)=1＋－=.设g(x)=x2－ax＋2,二次方程g(x)=0的判别式Δ=a2－8.①当Δ<0即0

8、对一切x>0都有f′(x)>0.此时f(x)是(0,＋∞)上的单调递增函数．②当Δ=0即a=2时,仅对x=时,有f′(x)=0,对其余的x>0都有f′(x)>0.此时f(x)也是(0,＋∞)上的单调递增函数．③当Δ>0即a>2时,方程g(x)=0有两个不同的实根x1=,x2=,0